Ступенчатый потенциал

Этот потенциал мы снова изобразим на рис. 30.5.

Рис. 30.5: Прохождение частицы над ступенчатым барьером эквивалентно нормальномупадению света из вакуума на полубесконечную среду с показателем преломленияп = 1/

Установление аналогии между квантовой механикой и светом озна-чает, что мы хотим найти такие замены квантовомеханических харак-теристик движения частицы на характеристики света, чтобы формулыквантовой механики перешли в соответствующие формулы для распро-странения света. Процедура замены будет изображена в формулах двой-ными стрелками, причем слева будут стоять квантовомеханические ве-личины, а слева --- оптические. От этих формул следует отличать равен-

30.8. Оптическая аналогия прохождения частицы над барьером

151

ства, где по обе стороны стоят величины, относящиеся либо к частице,либо к световой волне.

Распространение квантовой частицы описывается в терминах ее вол-нового вектора, ,где Т --- кинетическаяэнергия частицы. Здесь и далее мы выписываем для частицы формулы,относящиеся к области барьера; соотношения для частицы вне барьераполучаются при U= 0. Скорость частицы дается соотношением:

Введем прежде всего показатель преломления п среды 2, соответствую-щей области барьера: его естественно определить, как отношение скоро-стей частицы в областях 1 и 2:

При U= 0 получаем n = 1 --- показатель преломления вакуума.

Волновой вектор световой волны связан с круговой частотой соотноше-нием k=т /с. Мы предположим также, что волновой вектор частицыперейдет при искомой замене в волновой вектор света, т.е.

Из соотношения =kc/n для среды без дисперсии следует группо-вая скорость света d /dk=c/n, в которую при искомой замене должнаперейти скорость частицы v. Тогда уравнение дает:

Разделив уравнение на , находим еще одну замену:

Конечно, ``масса'', стоящая здесь в правой части, ничего общего не имеетс массой фотона, которая равна нулю. Можно назвать ее ``эффективноймассой фотона в среде'', и в вакууме, при n = 1, она равна h / . Этавеличина соответствует известной релятивистской связи масса-энергия,и она возникает при изучении влияния гравитационного поля на распро-странение световых лучей.

Глава 30. Уравнение Шредингера

Как бы то ни было, но суть в том, что указанные замены, как мыувидим, переводят формулы квантовой механики в формулы оптики.

Рассматривая прохождение частицы над низким потенциальным ба-рьером (см. ступенчатый потенциал на рис. 30.5), мы уже вывели коэф-фициент прохождения, который здесь обозначим D8:

Коэффициент отражения R8=1 ---D8 переписываем в виде:

Применяя вышеуказанные замены, сводящиеся в данном случае к за-мене k1/k2 --- n, мы записываем соответствующие коэффициенты прохо-ждения и отражения для света, падающего перпендикулярно из вакуумана среду с показателем преломления п: