Коммутирующие операторы

В предыдущей главе мы установили, что классические динамические пе-ременные заменяются в квантовой механике на операторы, действующиена волновую функцию. Результатами измерения некой величины А все-гда будут собственные значения соответствующего оператора: А п =Ап п. Если система находится в каком-нибудь собственном состоянии п оператора А, то измерение наверняка дает собственное значение Ап.Если же система находится в каком-то другом состоянии, то измерениеА с определенной вероятностью дает какое-то из собственных значений,причем эта вероятность зависит от волновой функции состояния и, ра-зумеется, от измеряемой величины А.

Пусть система находится в состоянии с определенным значением ве-личины А. Это значит, что ее волновая функция является собственной

Глава 31. Теория атома

функцией оператора А. Может ли другая величина В также иметь опре-деленное значение? Иначе, может ли состояние быть собственным сразуи для оператора А, и для В?

Правило 3 Два оператора А и В имеют общий набор собственных со-стояний тогда и только тогда, когда они коммутируют:

АВ = В А .

Иначе: если результат последовательного действия двух операторов независит от порядка, то соответствующие величины могут одновременноиметь определенные значения. Рассмотрим пример:

то есть для любой функции

или просто

Поскольку эти операторы не коммутируют, то координата и проекцияимпульса на ту же ось не измеримы одновременно. Этот вывод и естьистинный источник соотношения неопределенностей Гейзенберга, физи-ческий смысл которых разобран выше.

Особое значение имеет свойство коммутации операторов с гамильто-нианом, т.е. с оператором полной энергии . Если какой-то оператор коммутирует с , то существует общее собственное состояние, котороестационарно по определению. В стационарном же состоянии система пре-бывает неограниченно долго. Это означает одновременно и сохранениевеличины А. Таким образом, утверждение о сохранении некой величиныэквивалентно тому, что она может иметь определенное значение вместес энергией, т.е. соответствующий ей оператор коммутирует с гамильто-нианом.