Прохождение света через многослойную структуру

 

В этом разделе мы рассмотрим прохождение частицы над потенциаль-ным барьером, составленным из N прямоугольных конечных барьеровшириной d, причем межбарьерное расстояние всюду одинаково и равно b(рис. 30.7).

 

 

Рис. 30.7: Многослойная структура с периодом l=d+b, образованная N прямоуголь-ными потенциальными барьерами шириной d и межбарьерным расстоянием b.

 

В принципе решение задачи о нахождении коэффициента прохождения через такой барьер может быть решена описанными выше спосо-бами. Сейчас нам важно только понять основной физический результат,так что нижеследующие формулы приводятся без вывода и только длясправки. Выражение для коэффициента прохождения имеет вид:

 

 

Глава 30. Уравнение Шредингера

Где --- коэффициент прохождения через одиночный прямоугольныйбарьер, вычисленный выше (при N= 1 получаем из = Dг).

Величина k называется квазиволновым вектором (для отличия от вол-новых векторов частицы и мы набираем ее прямым шрифтом).

В случае света мы используем для Dr результат . Связь квази-волнового вектора с частотой падающего света и показателем преломле-ния дается тогда выражением:

где

kl=

 

Наконец, входящие в функции определены как

sin[h]x=

 

Ясно, что для частот, при которых абсолютно прозрачен прямоуголь-ный барьер (Dг = 1), будет прозрачен и наш составной барьер ( = 1в этом случае, как следует и из формулы ). В дополнение по-явятся и новые окна прозрачности. Здесь ситуация очень похожа наслучай с дифракционной решеткой (см. Ч. IV, раздел 30.5). Числен-ное решение показано на рис. 30.8, где для конкретности мы положилип = 1.52,b = 0.9(7. Левый рисунок представляет собой коэффициент про-хождения для одного, двух и четырех барьеров, правый --- для десятибарьеров. Последний случай, когда число барьеров велико (N 1)представляет для нас особый интерес. Тенденции, обнаруживающиесядля N = 10, в пределе N> станут только отчетливее. А именно: сростом N некоторые минимумы становятся глубже и шире, и в пределезначение коэффициента прохождения в них стремится к нулю. Наоборот,амплитуда колебаний при других частотах становится меньше и

коэффициент прохождения стремится к единице. Физическое объяснениеэтого явления заключается в том, что выполнении определенных условийотраженные от концов прямоугольных барьеров волны взаимно компен-сируют, гасят друг друга.

Подчеркнем еще раз: для предельного случая периодической струк-туры (N> ) зависимость коэффициента прохождения от частоты

падающего света такова, что

30.8. Оптическая аналогия прохождения частицы над барьером

157

а

к

X

ф

О

X

О

О.

П.

\ -

X

ф

-8-

-8-

о

О

 

 

Рис. 30.8: Коэффициент прохождения в зависимости от частоты падающего света для малого (слева) и большого (справа) числа барьеров. Видна тенденция формированияпри N> широких минимумов (т.н. запрещенныхзон,непрозрачных для света иличастицы) и максимумов с D>1(т.н. разрешенных,абсолютно прозрачных зон).

 

• имеются целые полосы частот, в которых ; для таких ча-стот составной барьер непрозрачен, свет этих частот полностью от-ражается от структуры.

 

• для других же частот, наоборот, = 1, т.е. для них барьер пол-

 

 

ностью прозрачен, не происходит никакого отражения, свет свободно

распространяется в такой структуре (на этом явлении основано со-здание т.н. просветленных объективов).

Аналогичное явление происходит и для квантовомеханической частицы,распространяющейся в периодическом потенциальном поле. При некото-рых значениях энергии частицы бесконечная периодическая последова-тельность потенциальных барьеров становится для нее совершенно не-прозрачной, даже если энергия частицы превышает высоту барьера. Придругих энергиях, наоборот, периодическая потенциальная структура ста-новится для частицы абсолютно прозрачной. Так возникают запрещен-ные и разрешенные энергетические зоны в кристалле, и мы с ними в своевремя познакомимся поближе.

 

Контрольные вопросы

 

• В чем заключается вероятностная интерпретация волновой функции?

 

 

Глава 30. Уравнение Шредингера

 

 

• Что такое условие нормировки волновой функции и в чем его физический смысл?

 

• Запишите общее уравнение Шредингера. Какому соотношению классической фи-зики оно соответствует?

 

• Как действует на волновую функцию оператор импульса ?

 

• Как действует на волновую функцию оператор координаты г и любая функцияэтого оператора f?

 

• Что такое гамильтониан системы?

 

• Запишите стационарное уравнение Шредингера.

 

• При решении стационарного уравнения Шредингера для некоторой системы полу-чается ряд значений энергии: . .. Может ли экспериментатор получить

 

какое-то иное значение при измерении энергии этой системы?

 

• Что такое вырождение энергетических уровней?

 

• Дайте наглядное объяснение, почему квантуется энергия частицы, находящейся вбесконечно глубокой потенциальной яме.

 

• Что такое нулевые колебания квантового осциллятора? Почему их существованиенеизбежно?

 

• * Сформулируйте принцип соответствия Н. Бора.

 

• В бесконечно глубокой потенциальной яме расстояние между высоколежащими

 

уровнями возрастает с ростом номера уровня п (см. (30.24)). В то же время, ка-залось бы, принцип соответствия Бора требует, чтобы уровни сгущались к клас-сическому значению. Покажите, что принцип соответствия справедлив и для

этой системы.

 

• Пусть частица налетает на потенциальный барьер, причем ее энергия большевысоты барьера: Е U.Можно ли по результату такого процесса обнаружитьразницу между предсказаниями классической и квантовой теорий?

 

• Что такое эффект туннелирования? Почему он не наблюдается в нашей повсе-дневной жизни?

 

• Металлическая шайба массой т = 10 г скользит по гладкой поверхности соскоростью = 1м/с. На ее пути стоит небольшая горка с гладкими скло-нами. Высота горки Н = 5.5 см, ее ширина d = 10 см. Как известно из курсамеханики, начальная скорость шайбы позволяет ей подняться лишь на высоту= = 1/(2 X 9.8) = 5.1 10-2 м = 5.1 см. Квантовая же механика утвер-ждает, что в принципе шайба может оказаться по другую сторону горки. Оценитьвероятность такого события.

 

• Квантовая механика дает только вероятностное описание движения частиц, гово-рить об их положении, скорости и т.п. смысла не имеет. Как Вы думаете, кактогда эта теория может широко использоваться при проектировании, например,устройств, использующих квантовые свойства систем?

 

 

Глава 31

Теория атома

 

Раз уж мы получили в руки такое мощное оружие, как уравнение Шре-дингера, то естественно вернуться к атому, начав с простейшего ---- атома водорода. Надо же убедиться, что квантовая механика при-ведет к тем же результатам, что и полуклассическая теория атома поБору. К тому же есть надежда, что новая теория подарит нам неожи-данные открытия. Жаль только, что изучение способов решения урав-нения Шредингера не входит в рамки настоящего курса. Но не беда:мы постараемся обойтись без излишней математики, угадывая свойстварешений на основе интуиции, выработанной при изучении классическойфизики. Следует только помнить, что читателя никто обманывать несобирается: все ``угаданное" может быть получено из уравнения Шре-

дингера точными математическими расчетами.

 








Дата добавления: 2016-01-26; просмотров: 945;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.015 сек.