Производная функции, ее геометрический смысл

Определение. Производной функции в точке называется предел, если он существует, отношения приращения функции в точке к приращению аргумента в этой точке, когда последнее стремится к нулю:

,

где - приращение аргумента в точке , а - соответствующее этому приращению приращение функции в этой точке.

у

P

M

0 x

Пусть функция определена на некотором промежутке и имеет во внутренней точке этого промежутка конечную производную. Пусть - точка графика функции , соответствующая абсциссе , а - произвольная точка графика функции.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , когда точка стремится к точке по кривой с любой стороны.

Обозначим через угол наклона секущей МР к положительному направлению оси . Тогда . Находим

,

где - угол наклона касательной к графику функции в точке .

Угол между кривыми в их общей точке определяется как угол между касательными, проведенными к этим кривым в их общей точке.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид: .

Функция имеющая конечную производную в точке называется дифференцируемой в этой точке.