Представление некоторых элементарных функций

По формуле Тейлора

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Функция .

Находим: , ,

, ,

……………………

, ,

Тогда: .

Пример. Найдем значение числа . В полученной выше формуле положим .

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003.

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451.

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553.

На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

Следовательно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

Функция

Получаем ; ;

; ;

; ;

; ;

…………………………………………

; ;

; ;

Следовательно

Функция

Для функции , применив аналогичные преобразования, получим:

Функция

( - действительное число)

…………………………………………………..

.

Тогда:

;

.

Если в полученной формуле принять , где - натуральное число и то , тогда

.

Получили формулу, известную как бином Ньютона.

Пример. Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.