Шесть членов разложения

Десять членов разложения

Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению , и значение функции от этого числа легко вычисляется.

Для примера вычислим значение .

Предварительно переведем угол в радианы: .

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

.

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Следоватеельно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.

Выше говорилось, что при функция является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при , близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. .

Пример. Вычислить .

Для того чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

; ;

; ;

; ;

рад

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим: .

Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла,

= 0,472869017612759812,

видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Функция

Получаем: ; ;

;

………………………………………

Следовательно:

;

Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма . Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

= 0,405465108108164381.

.

Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.