Схема исследования функции и построение графика
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо найти:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Точки разрыва. (Если они имеются).
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума.
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба. (Если они имеются).
8) Асимптоты. (Если они имеются).
9) Построить график функции.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область определения функции. Очевидно, что областью определения функции является область .
Прямые являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал .
Точками разрыва функции являются точки .
Находим критические точки. Найдем производную функции:
.
Критические точки: ; ; ; .
Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
, , кривая выпуклая;
, , кривая выпуклая;
, , кривая вогнутая;
, , кривая выпуклая;
, , кривая вогнутая;
, , кривая вогнутая.
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
, , функция возрастает;
, , функция убывает;
, , функция убывает;
, , функция убывает;
, , функция убывает;
, , функция возрастает.
Точка является точкой максимума, а точка является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно и .
Найдем наклонные асимптоты.
Следовательно, уравнение наклонной асимптоты – .
Построим график функции.
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 665;