Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число
, что для любого
справедливо неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат отрезку .
Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого
существует такое число
, что
.
Определение. Последовательность называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число
, что
Пример. – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число называется пределом последовательности
, если для любого положительного
существует такой номер
, что для всех
выполняется неравенство:
Обозначение: . В этом случае говорят, что последовательность
сходится к
при
.
Пример. Доказать, что предел последовательности .
Пусть при верно
, т.е.
. Это верно при
, таким образом, если за
взять целую часть от
, то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример. Показать, что при последовательность
имеет пределом число 2. Имеем
;
.Для любого положительного числа
существует такое натуральное число
, что
, т.е.
.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела
и
, не равные друг другу.
.
Тогда по определению существует такое число , что
и
.
Запишем выражение: .
Так как - любоеположительноечисло, то
, т.е.
. Теорема доказана.
Теорема. Если , то
.
Доказательство. Из следует, что
. В то же время:
, т.е.
, т.е.
. Теорема доказана.
Теорема. Если , то последовательность
ограничена.
Необходимо отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность не имеет предел. В то же время
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 903;