Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение.Говорят, что события образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, т.е. и .

Пусть событие А может произойти одновременно с одним из несовместных событий , образующих полную группу. Эти события принято называть гипотезами.

Теорема 4 (Теорема полной вероятности).Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одной из гипотез , равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

.

Формула - называется формулой полной вероятности.

Вероятность гипотезы до проведения эксперимента называют априорной. Если известен результат эксперимента, то можно переоценить вероятность гипотезы

Теорема 5 (Теорема Байеса). Вероятность гипотезы после того, как известно, что в результате опыта события А произошло, дается формулой: .

Эту формулу называют формулой Байеса.

Пример.Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0.8, а второго – 0.9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Решение. Рассмотрим следующие события:

А - {извлекли стандартную деталь},

- {деталь извлечена из первого набора},

- { деталь извлечена из второго набора}.

События В₁ и В₂ независимы и исчерпывают все возможные исходы эксперимента, т.е. . Поскольку выбирается любой из двух наборов, то эти события равновероятны, т.е. и .

Вероятность того, что стандартная деталь будет извлечена из первого набора: .

Вероятность того, что стандартная деталь будет извлечена из второго набора: .

Искомая вероятность события А, т.е. того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна:

.

Пример.Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0.6, а ко второму – 0.4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0.94, а вторым – 0.98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Рассмотрим следующие события:

событие А – { деталь признана стандартной},

событие - {деталь проверил первый контролер},

событие - {деталь проверил второй контролер}.

Требуется найти вероятность того, что произошло событие при условии, что деталь признана стандартной. Будем использовать формулу Байеса: .

По условию задачи имеем:

{вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру};

{вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру};

{вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной};

{вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной}.

Искомая вероятность