Непрерывное вероятностное пространство

Пусть в вероятностной модели пространство элементарных исходов - бесконечное непрерывное множество, для которого определена мера. Роль меры множества играют: длина для линейных множеств, площадь для плоских множеств, объем для пространственных множеств. Будем обозначать меру множества А – mes(A).

Пусть на множестве определена функция , , удовлетворяющая условию .

Если А - некоторое событие, связанное с этой моделью, т.е. , тогда вероятность этого события определяется по формуле: . Эта числовая функция удовлетворяет всем аксиомам вероятности.

В частном случае, когда , из условия: , получим, что . Тогда для вероятности случайного события имеем: .

Определение.Вероятность события A, определяемая формулой: называется геометрической вероятностью.

Пример.Эксперимент состоит в радиолокационном наблюдении воздушной цели. Наблюдаемый результат – положение светящегося пятна на экране индикатора цели, имеющего форму круга, радиуса 10 см. Найти вероятность следующих событий: A={цель находится в первом квадранте} B={цель находится в круге радиуса 5 см с центром в центре экрана}.

Решение. Все события связаны с регистрацией положения светящегося пятна на экране. Элементарным исходом являются координаты точки на плоскости в декартовой системе координат, связанной с центром экрана. Таким образом, пространство элементарных исходов бесконечно, непрерывно и может быть записано в виде: . Мера этого множества – его площадь: . Подмножества, соответствующие указанным событиям:

, .

По формуле геометрической вероятности имеем: , .