СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Упругая твёрдая среда называется линейной и изотропной в том случае, если напряжения в ней линейно связаны с деформациями, а механические свойства среды не зависят от направления. В такой среде главные оси напряжений и деформаций совпадают. Связь между напряжениями и деформациями удобно записать в системе координат, связанной с главными осями:

s₁ = (l + 2G)e₁ + l e₂ + le₃, (5.3.1)

s₂ = le₁+ (l + 2G ) e₂ + le₃, (5.3.2)

s₃ = le₁+ le₂ + (l+2G )e₃, (5.3.3)

где упругие модули l и G (модуль сдвига) называются параметрами Ламе. Свойства среды таковы, что от действия компонент деформации e возникает напряжение (l+2G)e в том же направлении и напряжения le в других взаимно перпендикулярных направлениях:

, (5.3.4)

, (5.3.5)

, (5.3.6)

где Е (модуль Юнга, меняется для горных пород в пределах 10–100 ГПа) и n (коэффициент Пуассона, меняется в пределах 0.1 – 0.4) - материальные параметры среды. Главная компонента напряжения s создаёт деформацию s/E в направлении своего действия и деформации - ns/E в двух других взаимно перпендикулярных направлениях. Упругие свойства среды характеризуют, задавая l и G или E и n. Эти параметры не являются независимыми.

Одноосное напряжённое состояние. В этом случае отлично от нуля только одно главное напряжение, например, s₁. s₂ = s₃ = 0 , тогда

. (5.3.7)

Рис. 5.6. Деформация под действием одноосного сжатия

Отсюда видно, что напряжение s₁ вызывает не только деформацию e₁ в направлении своего действия, но и деформации в перпендикулярных направлениях e₂ и e₃. Если s₁ - напряжение сжатия, то e₁ - укорочение, а e₂ и e₃ - удлинения.

Эти деформации показаны на рис. 5.6, где элемент dxdydz стал короче в направлении оси y, но толще в направлении осей х и z. В соответствии с равенствами (5.3.4) - (5.3.6)мы можем написать

(5.3.8)