Показатели размытости

Можно выделить несколько аспектов связанных с понятием нечеткости или размытости:

1 аспект связан с интерпретацией показателя размытости, как меры отличия нечеткого множества от обычного или четкого множества (ближайшего к данному нечеткому множеству).

2 аспект связан с интерпретацией показателя размытости, как показателя внутренней неопределенности, двусмысленности, противоречивости обусловленных неполной, частичной принадлежностью объектов некоторому множеству.

3 аспект определен существованием нетривиального показателя размытости или показателя размытости специального вида, сущность которого вытекает из свойств алгебры нечетких множеств.

По 1 аспекту в качестве показателя размытости рассматривается два показателя: линейный индекс нечеткости и квадратичный индекс нечеткости. Первый определяется через расстояние Хемминга, а второй через Евклидово расстояние.

Они имеют следующий вид:

(A)=(2/n)d(A, Ä), Ä – обычное множество, ближайшее к данному.

(A)=(2/ ) e(A, Ä), где d – обобщенное расстояние Хемминга

(A, B)=d(A, B)/n=(1/n) │m_A(x_i) - m_A(x_i)│ - относительное обобщенное расстояние Хемминга.

ε(A, B)=e(A, B)/ = (m _A(x_i) - m_A(x_i))² – относительное Евклидово расстояние.

Пример: пусть А и В нечеткие множества

А={<0,7; x₁>, <0,2; x₂>, <0; x₃>, <0,6; x₄>, <0,5; x₅>, <1; x₆>, <0; x₇>}

B={<0,2; x₁>, <0; x₂>, <0; x₃>, <0,6; x₄>, <0,8; x₅>, <0,4; x₆>, <1; x₇>}

d(A, B)= │0,7-0,2│+│0,2-0│+│0-0│+│0,6-0,6│+│0,5-0,8│+│1-0,4│+│0-1│=2,6

(A, B)=2,6/7=0,37

ε(A, B)= =0,5

1, m_A(x)>0,5

m_Ä(x)= 0, m_A(x)<0,5

0;1, m_A(x)=0,5

Ä={<1; x₁>, <0; x₂>, <0; x₃>, <1; x₄>, <0; x₅>, <1; x₆>, <0; x₇>}

d(A, Ä)/n=(│0,7-1│+│0,2-0│+│0-0│+│0,6-1│+│0,5-0│+│1-1│+│0-0│)/7=0,2

(A)=2 (A, Ä)=0,4

(A, Ä)=2 ε(A, Ä)=2 ^. 0,28=0,56

ε(A, Ä)= =0,28

Пусть Е – универсальное множество, Е=[a, в] R (непрерывное множество).

(A)= │m_А(х)- m_Ä(x)│dx

Справедливо следующее выражение для линейного индекса нечеткости.

х Ω : │m_А(х_i )- m_Ä(x_i) │=m _{A ┐A}(x_i)

┐A – дополнение к нечеткому множеству А,

отсюда

(A)= m _{A ┐A}(x_i)

а выражение 2 m _{A ┐A}(x_i) получило название индикатора нечеткости.

(A)= ( Ä)

Анализ проведенный для индексов нечеткости и операций , , ┐, показал, что ни одна из этих операций не дает систематического увеличения или уменьшения индекса нечеткости.

Введенный линейный индекс нечеткости можно записать так же следующим образом:

(A)= min {m_А(х_i ), m_┐А(х_i )}

Перейдем к рассмотрению показателя размытости используемого с позиции 2 аспекта.

В качестве показателя размытости в этом случае используется понятие энтропии для нечетких множеств определяемое следующим образом:

H(π_A(x₁), π_A(x₂), …. π_A(x_n) )= π_A(x_i)ln π_A(x_i)

Здесь π_A(x_i)=m_A(x_i)/ m_A(x_i)

Пример: А – нечеткое множество с функцией принадлежности следующего вида:

m_A(x₁)=0,7

m_A(x₂)=0,9

m_A(x₃)=0

m_A(x₄)=0,6

m_A(x₅)=0,5

m_A(x₆)=1

m_A(x_i)=3,7

i
πA(xi)	7/37	9/37		6/37	5/37	10/37
Ln π	-1,67	-1,4		-1,8	-2	-1,3
πA(xi) . Ln π	-0,32	-0,34		-0,29	-0,27	-0,35	-1,57

Ln 6=1,79

1/ln 6=0,56

результат: H(π_A(x₁), π_A(x₂), π_A(x₃), π_A(x₄), π_A(x₅), π_A(x₆))=0,56 ^. 1,57=0,89

Сводка основных операций в алгебре нечетких множеств

№	Название	Символическая запись F(x)/Ф([0,1])	Логическая связка
	Дополнение	— m(х)= m(х)=1-m(х), х Х — М(α)= М(α)=х\ М/(1-β) Β [0,1], α [0,1]	не
	Пересечение 1 (минимум: невзаимодействующие переменные )	m(х)= m1(х) m2(х) =min(m1(х), m2(х)), х Х M(α)= M1(α) M2(α), α [0,1]	и и…и
	Объединение 1 (максимум: невзаимодействующие переменные )	m(х)= m1(х) m2(х) =max(m1(х), m2(х)), х Х M(α)= M1(α) M2(α), α [0,1]	или либо…либо
	Пересечение 2 (ограниченное произведение)	m(х)= (m1 m2)х =max[0, m1(х)+m2(х)-1] , х Х M(α)= M1(β1) M2(β2), α [0,1] β1, β2>α	и
	Объединение 2 (ограниченная сумма)	m(х)= (m1 m2)х =min[1, m1(х)+m2(х)] , х Х M(α)= M1(β1) M2(β2), α [0,1] 1≥β1, β2 ≥α	или
	Пересечение 3 (алгебраическое произведение)	m(х)= m1(х) . m2(х), х Х M(α)= M1(β1) M2(β2), α [0,1] β1, β2>α	и
	Объединение 3 (алгебраическая сумма (*))	m(х)= m1(х)*m2(х)= m1(х)+m2(х)- m1(х) . m2(х), х Х M(α)= M1(β1) M2(β2), α [0,1] β1+β2 – β1 . β2≥ α, β1, β2 [0,1]	или
	Разность	m(х)= (m1(х)-m2(х) =max[0, m1(х)-m2(х)] , х Х M(α)= M1(β1) M2(β2), α [0,1] β1-β2 ≤ α, β1, β2 [0,1]
	Конденсация (возведение в степень)	mCOND(х)=m2(х) mS(х)=mа(х), а=0,5 dil	очень

1 класс F(x)={m/ m: x [0,1]}

Ф([0,1])={М/ М:[0,1] 2^x}

а) М(0)=0

б) α₁, α₂ [0,1], α₁ ≤α₂ M(α₁) M(α₂)

α₂

α₁

M(α₂)

M(α₁)

Связь между этими рассмотренными способами формализации нечеткости устанавливается теоремой представления. В соответствии с этой теоремой классы F и Ф изоморфны относительно операций объединений и пересечений. При этом любой бинарной операции в F(x) соответствует объединение пересечение различных срезов в Ф([0,1]).

х Х: m(х)= m₁(х)*m₂(х) M(α)= M₁(β₁) M₂(β₂), α [0,1]

β₁*β₂≥α