Формы описания неопределенностей

Для учета и описания факторов неопределенности известны и используются следующие модели:

1. Стохастическая (вероятностная) модель

W(z) – плотность вероятности.

2. Статистическая модель (описывается статистической оценкой плотности вероятности или выборочными распределениями)

^

W(z) – оценка плотности вероятности.

3. Интервальная модель

(-z; z) – интервал.

4. Нечеткие модели в виде функции принадлежности μ(z) величины z нечеткому множеству А.[Н1]

Нечеткие множества

Определение 1: Обозначим через универсальное множество, тогда нечетким множеством Ã на множестве W называется совокупность пар следующего вида:

Ã={ω₁, μ_Ã (ω)}, где μ_Ã (ω): Ω [0;1] и называется функцией принадлежности для нечеткого множества Ã.

Если взять конкретный элемент , то μ_Ã( ) называется степенью принадлежности.

Степень принадлежности есть субъективная мера того, что элемент соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством А.

Определение 2: Носителем нечеткого множества А S_А называется множество всех элементов принадлежащих универсалу и таких что степень принадлежности каждого больше 0

S_А={ω/ω , μ_А(ω)>0}, S_А подмножество универсального множества

Определение 3: нечеткие множества А называются нормальными если выполняется следующее условие:

Sup μ_А(ω)=1

Для нечетких множеств - справедливы следующие операции:

ПустьÃ, В – есть нечеткие множества на универсуме

Определение 4: Объединение нечетких множеств Ã, В называется множество

Ã В = {ω, μ_{à В}(ω)}, μ_{à В}=max [μ_Ã(ω), μ_В(ω)]

Определение 5: пересечением нечетких множеств Ã В называется нечеткое множество

Ã В = {ω, μ_{à ∩В}(ω)}, μ_{Ã∩ В}=min [μ_Ã(ω), μ_В(ω)]

Определение 6: дополнение к нечеткому множеству Ã называется множество

┐à = {ω, μ_┐à (ω)} для которого μ_┐à (ω)= 1 – μ_Ã(ω)

Пусть Ã_i есть нечеткое множество на _i тогда,

Определение 7: Декартовым произведением нечеткого множества А называется нечеткое множество Ã₁ Ã₂ ……Ã_n={<ω₁, ….,ω_n>, μ_Ã(ω₁, ….,ω_n)}, где ω_i Ω_i

μ_Ã(ω₁, ….,ω_n)= min { μ_Ã1(ω₁), …., μ_Ãn(ω_n)}

Определение 8: Степенью нечеткого множества Ã называется нечеткое множество

А^ε={ω, μ_Ã^ε(ω)} >0

Частный случай: ε =2 то эта операция называется операцией сжатия или концентрации

ε =2 con (Ã)=ò

при ε =0,5 операция растяжения

dil (Ã)=Ã^0,5

Отметим, что операция концентрации снижает степень нечеткости описания, а операция растяжения повышает.

Введем понятие множество α уровня.

Определение: множеством α уровня нечеткого множества Ã называется множество S_α={ω Ω/μ_Ã(ω)≥α} при этом α=[0,1].

Важность данного понятия состоит в том, что любое нечеткое множество может быть представлено объединением своих α уровневых четких множеств по всем α

m_Ã (w)= α m_Sα (w); где

α [0,1]

ó1, если m_Ã (w) >=a

m_Sα (w)= í

è 0, если m_Ã (w) < a

Пример: Пусть имеем два универсума

Ω₁=(10,15,20,25)

Ω₂=(5,6,7)

и нечеткие множества

Ã₁={<10;1>,<15;0,8>,<20;0,5>,<25;0,3>}

Ã₂={<5;1>,<6;0,5>,<7;0,2>}

Ã₁ Ã₂={<(10;5);1>,<(15;5);0,8>,<(20;5);0,5>,<(25;5);0,3>,<(10;6);0,5>,<(15;6);0,5>,

<(20;6);0,5>,<(25;6);0,3>,<(10;7);0,2>,<(15;7);0,2>,<(20;7);0,2>,<(25;7);0,2>}

Найдем CON (Ã₁)=Ã₁² и DIL (Ã₁)=Ã₁^0,5

Con (Ã₁)={<10;1>,<15;0,64>,<20;0,25>,<25;0,09>}

Dil (Ã₁)= {<10;1>,<15;0,89>,<20;0,71>,<25;0,55>}

α=0,3;0,5;0,8;1

Ã=(10;15;20;25) (10;15;20) (10;15) (10)

Определение 10: Имеем универсум Ω а также Ã₁ и Ã₂, степенью включения множества Ã₁ в множество Ã₂ называется величина

(Ã₁, Ã₂)= &[μ_Ã1(ω) μ_Ã2(ω)]

ω Ω импликация

2 способа нахождения импликации:

1. В логике Лукасевича

[μ_Ã1(ω) μ_Ã2(ω)]= 1&(1 - μ_Ã1(ω) + μ_Ã2(ω)]

ω Ω

2. По Заде

μ_Ã1(ω) μ_Ã2(ω)= (1- μ_Ã1(ω)) μ_Ã2(ω)

Определение 11: Степенью равенства нечетких множеств Ã₁ и Ã₂ называется величина следующего вида

η(Ã₁;Ã₂)= & (μ_Ã1(ω)∞μ_Ã2(ω)) & [(μ_Ã1(ω) μ_Ã2(ω))&(μ_Ã2(ω) μ_Ã1(ω))]

Пример: Ω={ω₁;ω₂;ω₃;ω₄;ω₅}

Ã₁={<ω₂;0,1>;<ω₃;0,6>;<ω₅;0,4>}

Ã₂={<ω₁;0,8>;<ω₂;0,5>;<ω₃;0,7>;<ω₅;0,6>}

В логике Лукасевича

(Ã₁, Ã₂)= 1& [(0→0,8)&(0,1→0,5)&(0,6→0,7)&(0→0)&(0,4→0,6)]=

(1&(1-0+0,8)&(1-0,1+0,5)&(1-0,6+0,7)&(1-0+0)&(1-0,4+0,6))=

(1&1,8&1,4&1,1&1&1,2) 1

(Ã₂, Ã₁)=1& (0,8→0)&(0,5→0,1)&(0,7→0,6)&(0→0)&(0,6→0,4)=

(1&(1-0,8+0)&(1-0,5+0,1)&(1-0,7+0,6)&(1-0+0)&(1-0,6+0,4))=

(1&0,2&0,8&0,9&1&0,8) 0,2