Общее уравнение плоскости

Теорема 1. Плоскость есть поверхность первого порядка, т.е. задается в аффинной системе координат уравнением первой степени , где не равны нулю одновременно. Обратно, поверхность в пространстве, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени (где не равны нулю одновременно), есть плоскость.

□ Пусть плоскость задана точкой и двумя неколлинеарными векторами и , т.е. . Найдем ее уравнение.

; ;

.

Положим , , , . Тогда .

Так как векторы и неколлинеарны, то их соответствующие координаты не пропорциональны, следовательно, , и одновременно, т.е. одновременно.

Докажем обратное утверждение. Пусть некоторая поверхность задана уравнением , где не равны нулю одновременно. Докажем, что - плоскость.

Пусть для определенности . Найдем уравнение плоскости , заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами и .

;

; ; разделив обе части полученного уравнения на , получим:

.

Итак, уравнение поверхности в точности совпадает с уравнением плоскости , следовательно, совпадает с , т.е. - плоскость.

Если , то или . Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что - плоскость. ■

Уравнение (где не равны нулю одновременно) называется общим уравнением плоскости. Переменные х, у, z называются текущими координатами произвольной точки плоскости.