На прямые и плоскости в пространстве

1. Угол между двумя прямыми в пространстве.

Возьмем в пространстве две непараллельные прямые и . Тогда и являются либо пересекающимися, либо скрещивающимися. Если и пересекаются, то они образуют четыре угла. Тогда углом между и называется тот из четырех углов, который по величине не превосходит остальные.

Пусть и являются скрещивающимися. Возьмем в пространстве произвольную точку и проведем через нее прямые и (рис. 82). Прямые и образуют четыре угла с вершиной . Тот из них, который по величине не превосходит остальные, называется углом между прямыми и .

Выведем формулу для вычисления косинуса угла между прямыми и . Пусть и - направляющие векторы прямых и соответственно. Возможны два случая:

а) Если , то . Тогда .

б) Если , то . Тогда .

Из пунктов а), б) следует, что . Таким образом,

. (35)

2. Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Из формулы (35) получаем:

Итак,

(две прямые в пространстве взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю).

Заметим, что взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.

3. Угол между прямой и плоскостью.

Напомним, что прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если не перпендикулярна , то углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 83).

Если , то угол между и считается равным .

Пусть и не перпендикулярна , - направляющий вектор прямой , а плоскость задана в прямоугольной декартовой системе координат общим уравнением . Найдем величину угла между прямой и плоскостью . Положим .