Учет скидок в модели EOQ

При покупке партий товара большинство фирм дает скидки, величина которых зависит от размера партии (S). Среди различного вида скидок в управлении запасами наиболее часто используется так называемые оптовые скидки. Применение оптовых скидок означает, что цена единицы продукции С_п_j зависит от объема закупаемой партии S_j, при этом соблюдается правило, чем больше S_j, тем меньше цена С_п_j. Уменьшение цены представляется, как правило, в виде дискретной зависимости (см. рис. 5.2). На рис.5.2 показана ситуация, когда при величине заказа S_j≤100 ед. цена единицы товара С_по=400 руб.; при величине заказа S от 100 до 500 ед. цена единицы товара С_п1=350 руб.; наконец, при S больше 500 ед. цена С_п2=300 руб. Следовательно, заказывая 300 ед.продукции затраты на приобретение составят С_к=300х350=105 тыс. руб., а при заказе 600 ед. затраты С_к=180 тыс. руб.

Рис. 5.2. Зависимость оптовой цены продукции (C_п_j) от

объема заказа (S)

Иногда могут предоставляться дифференциальные скидки, при использовании которых скидки для каждой партии товара учитываются раздельно в каждом ценовом диапазоне. Здесь используется следующее правило. Если размер заказа колеблется от 1 до S₁, например до 100 ед., то цена единицы изделия составляет С_по (допустим С_по=400 руб.); при размере заказа от S₁+1 до S₂ (от 101 до 500 ед.) цена снижается до С_п1 (С_п1=350 руб. как при оптовой скидке) и т.д. Но при дифференциальной скидке общие затраты при закупке партии в 300 ед. составят:

С_к=400∙100+350(300-101)=109,65 тыс.руб.;

а средняя цена единицы изделия в этом случае составит:

руб,/ед.

Для учета оптовых скидок наиболее часто используется дискретная зависимость С_п_j от S_j. При расчетах параметров модели EOQ с учетом оптовых скидок возможны различные ситуации.

Наиболее часто встречается первая ситуация, когда цена товара С_п_j изменяется, а затраты на хранение единицы продукции С_х, рассчитанные по формуле (5.3) в зависимости от С_п_j остаются постоянными.

Вторая ситуация, когда вместе с изменением цены С_п_j пропорционально изменяются и затраты на хранение С_х_j единицы продукции.

Третья ситуация при которой между изменениями цены С_п_j и затратами на хранение не наблюдается однозначной зависимости.

Рассмотрим последовательность расчета параметров модели EOQ для первой ситуации.

1. Зависимость суммарных затрат на приобретение, выполнение заказа и хранение записываются в виде:

(5.17)

2. Выполним расчеты С_∑ для различных значений S при следующих исходных данных: А=2000 ед., С_о=800, f=0,2, цены для каждой единицы товара с учетом скидок приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Изменение цены единицы продукции в зависимости от размера партии заказа

Номер j	Размер партии поставки, ед.	Цена единицы товара со скидкой, С_п_j руб.
	1-100 101-500 501 и более

Например, при S=50 ед. находим

тыс. руб.

Результаты расчетов С_∑ приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Результаты расчета суммарных затрат с учетом скидки

Цена единицы продукции С_п_j руб.	Размер заказа, S, ед.	Затраты на приобретение АС_п_j тыс. руб.	Затраты на выполнение заказа А∙С_о/S, тыс. руб.	Затраты на хранение , тыс. руб.	Суммарные затраты С_∑, тыс. руб.
			32,0 21,3 16,0	2,0 3,0 4,0	8034,0 8024,3 8020,0
			15,8 10,7 8,0 6,4 4,0 3,6 3,2	4,0 6,0 8,0 10,0 16,0 18,0 20,0	7019,8 7016,7 7016,0 7016,4 7020,0 7021,6 7023,2

Окончание табл. 5.2

Цена единицы продукции С_п_j руб.	Размер заказа, S, ед.	Затраты на приобретение АС_п_j тыс. руб.	Затраты на выполнение заказа А∙С_о/S, тыс. руб.	Затраты на хранение , тыс. руб.	Суммарные затраты С_∑, тыс. руб.
			3,2 2,9 2,7 2,5 2,3	20,0 22,0 24,0 26,0 28,0	6023,2 6024,9 6026,7 6028,5 6030,3

3. Рассчитаем величину оптимальной партии заказа, формула (5.6), S_o=200 ед. и минимальные суммарные затраты, формула (5.9) С_∑_min=8000 руб. Однако, из анализа результатов, приведенных в табл.5.2, следует, что минимальные затраты С_∑=6023,2 тыс. руб.

Таким образом, оптимальная партия заказа с учетом скидок S_о=501 ед.; соответственно число заказов в год N=4, а периодичность поставок Т=260/4=65 дней.

Следует отметить, что формула Харриса-Уилсона выведена с учетом большого числа допущений и ограничений [26, 29]:

- затраты на выполнение заказа C_o, цена поставляемой продукции С_п и затраты на хранение единицы продукции в течение рассматриваемого периода постоянны;

- период между заказами (поставками) постоянный, т. е. Т_з=const;

- заказ S_o выполняется полностью, мгновенно;

- интенсивность спроса ( ) постоянна;

- емкость склада не ограничена;

- рассматриваются только текущие (регулярные) запасы, другие виды запасов (страховые, подготовительные, сезонные, транзитные и т. д.) не учитываются.

Модифицированные варианты модели EOQ

Можно выделить следующие основные модификации классической модели EOQ: модель производственного заказа (EPQ) – подразумевает немгновенную разгрузку с одновременным расходом запаса; модель экономичного размера партии (EBQ) – подразумевает постепенное пополнение запаса (без расхода) и последующий равномерный расход; модель текущего запаса с потерей требований при дефиците; модель текущего запаса с отложенным дефицитом; комбинированные модели.

Таблица 5.3

Варианты модифицированных моделей для определения оптимального размера заказа [27]

Наименование модели	Графическое изображение	Примечание
1. Производственного заказа EPQ (Economic Production Quantity)		Поступление 1; одновременное поступление и потребление 3; последующее потребление 2

Продолжение табл. 5.3

Наименование модели	Графическое изображение	Примечание
2. Экономичного размера партии EBQ (Economic Batch Quantity)		Поступление 1 (без потребления); последующее потребление 2
3. Текущего запаса с отложенным дефицитом (I)		После мгновенного поступления 1, сначала выполняется (мгновенно) отложенный спрос D₀, затем этап потребления 2 и дефицита 4
4. Текущего запаса с потерей требований при дефиците (II)		После мгновенного поступления 1; этап потребления 2 и этап дефицита 4, когда требования не выполняются и не накапливаются

Продолжение табл. 5.3

Наименование модели	Графическое изображение	Примечание
5. Экономичного размера партии с потерей требований при дефиците		Поступление 1 (без потребления); потребление 2; дефицит 3 (требования не выполняются и не накапливаются)
6. Экономичного размера партии с дефицитом (отложенный спрос)		Поступление 1 (с мгновенным выполнением отложенного спроса D_о в момент t=0); потребление 2, этап дефицита 3 (с накоплением требований).
7. Производственного заказа с дефицитом (отложенный спрос)		Поступление 1 (с мгновенным выполнением отложенного спроса D_о в момент t=0); поступление с одновременным потреблением 3; потребление 2; этап дефицита 4 (с накоплением требований)

Окончание табл. 5.3

Наименование модели	Графическое изображение	Примечание
8. Производственного заказа с потерей требований при дефиците		Поступление 1; поступление с одновременным потреблением 3; потребление 2, этап дефицита (с потерей требований)

Таблица 5.4

Откорректированные зависимости для расчета параметров модели EPQ c немгновенной разгрузкой [27, 32]

Параметр модели	Откорректированные варианты
Оптимальная партия поставки, S^*_опт., ед.	, где S₀ – оптимальная партия рассчитанная по формуле Харриса-Уилсона
Количество поставок N^* в плановый период D
Периодичность поставки Т^*, дни
Минимальные суммарные затраты С^*_∑, ден. ед.

(5.18)

где С^*_Х - затраты, связанные с хранением продукции вне склада во время разгрузки транспортных средств.

μ - интенсивность пополнения;

λ - интенсивность расхода.

Пример 5.3[27]:

- потребность в заказываемом продукте А=1000 ед. в год;

- затраты на выполнение одного заказа С_о=100 руб.;

- затраты на хранение единицы продукции (на складе) С_Х=20 руб./ед. год;

- количество рабочих дней в году D=250 дней;

- интенсивность пополнения запасов на склад μ =25 ед./день;

- интенсивность расхода запаса со склада λ=4 ед./день;

- затраты на хранение доставленной продукции вне склада С^*_Х =40 руб./ед. год

Рассчитаем S₀, для этого воспользуемся формулой (5.6):

По формуле (5.18) найдем значение поправочного коэффициента β:

Теперь можно определить параметры модели EPQ и рассчитать суммарные минимальные затраты:

- оптимальная партия поставки:

- оптимальное количество поставок:

- оптимальная периодичность поставок:

- суммарные минимальные затраты:

Таблица 5.5

Откорректированные зависимости для расчета показателей модели экономичного размера партии (EBQ) [27, 32]

Наименование показателя	Откорректированные зависимости
1. Экономичный (оптимальный) размер партии S^*, ед.
2. Количество партий поставок N^*в плановом периоде D
3. Продолжительность одного цикла поставки Т^*, дни
4. Минимальные суммарные затраты , руб.