Момент инерции твердых тел. Теорема Штейнера

Для нахождения момента инерции тела его разбивают на малые элементы объемом , определяют их массы и расстояния до оси вращения и суммируют произведения масс элементов на квадраты их расстояний до оси вращения:

,

или

(1.51)

где - плотность тела, - его объем.

Моменты инерции твердых тел определены и сведены в справочные таблицы.

1. Момент инерции тонкого однородного кольца массы M и радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр кольца:

.

2. Момент инерции однородного диска (цилиндра) массы М и радиуса R относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости:

.

3. Момент инерции шара массы М и радиуса R относительно оси симметрии:

.

4. Момент инерции однородного стержня массы Ми длины относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину:

.

Рис.1.19. Определение момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр тяжести

Для нахождения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр тяжести (рис.1.19), применяется теорема Штейнера: момент инерции I тела относительно оси OO’ равен моменту инерции I0 тела относительно параллельной ей оси CC’, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы m этого тела на квадрат расстояния a между осями: . (1.52)