Твердое тело в механике. Уравнение вращательного движения твердого тела относительно точки
Рис.1.14. Твердое тело как система материальных точек
| Будем рассматривать твердое тело как систему n материальных точек в системе координат xyz (рис.1.14). Обозначим:  ,  - масса и скорость i-й точки;  - ее радиус-вектор;  - внутренняя сила, действующая на i-ю точку со стороны k-й;  - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i-ю точку.
Запишем для i-й материальной точки II закон Ньютона:
|
. (1.35)
Умножим слева обе части (1.35) векторно на :
. (1.36)
Видно, что
(1.37)
В самом деле:
,
причем
.
Перепишем уравнение (1.36) с учетом (1.37):
. (1.38)
Векторное произведение радиус-вектора точки на ее импульс называется моментом импульса точки относительно т. О:
(1.39)
Рис.1.15
| Направление  находится по правилу векторного произведения. Для случая, представленного на рис.1.15, перпендикулярен плоскости, в которой лежат  и  , и направлен вверх. Модуль момента импульса равен:
|
, (1.40)
где 
.
Векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор этой силы называется моментом силы относительно т. О:
Рис.1.16
|  . (1.41)
Направление  показано на рис. 1.16. Модуль момента силы равен:
 ,
где  ,  .
|
Перпендикуляр 
, опущенный из т.О на направление вектора силы, называется плечом этой силы.
С учетом (1.39) и (1.41) перепишем (1.38) в виде:
. (1.42)
Записывая аналогичные уравнения для всех n точек твердого тела и суммируя их почленно, получим:
. (1.43)
Векторная сумма 
называется моментом импульса тела относительно т. О.
Векторная сумма моментов внешних сил, приложенных ко всем точкам системы, называется результирующим, или главным моментом внешних сил относительно т. О:
.
Наконец, векторная сумма моментов всех внутренних сил относительно т. О равна нулю: 
, т.к. момент каждой пары внутренних сил 
и 
равен нулю. Тогда уравнение (1.43) примет вид:
. (1.44)
(1.44) - уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной точки.
Дата добавления: 2016-01-07; просмотров: 584;