Энергия гармонических колебаний

Пусть гармонический осциллятор (ГО) колеблется по закону:

Полная энергия колебаний ГО равна:

(1.68)

(1.69)

Найдем потенциальную энергию осциллятора, используя связь потенциальной энергии частицы с действующей на нее силой:

откуда

,

(1.70)

Выбрав постоянную так, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия (x=0) обращалась в ноль, получим:

(1.71)

Тогда

или

(1.72)

Поскольку гармонические колебания совершаются под действием упругой или квазиупругой силы, которая является консервативной, полная энергия гармонического колебания пропорциональна квадрату амплитуды и постоянна во все время колебания, как это следует из закона сохранения механической энергии. При этом кинетическая и потенциальная энергии непрерывно меняются с течением времени, переходя друг в друга.

Средние за период значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы и равны:

(1.73)

т.к. средние за период значения квадрата синуса и квадрата косинуса равны 1/2.

Физический маятник

Физическим маятником называют всякое абсолютно твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести. Колебания физического маятника происходят под действием составляющей силы тяжести (рис.1.22):

Рис.1.22. Физический маятник

Знак «-» берется потому, что сила стремится вернуть маятник в положение равновесия. Сила будет квазиупругой, т.е. пропорциональной смещению, только при малых углах отклонения , когда . Тогда (1.74)

Эта сила создает вращающий момент относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса O перпендикулярно плоскости чертежа, равный:

(1.75)

где R – расстояние от точки подвеса до центра тяжести C маятника.

Запишем уравнение вращательного движения относительно оси вращения:

или (1.76)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, - угловое ускорение.

Разделив (1.76) на I, получим дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника:

(1.77)

Из него следует, что частота колебаний физического маятника

(1.78)

а период колебаний

(1.79)

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, который колеблется синхронно с физическим. Из условия синхронности , где , найдем, что .