Спектры периодических сигналов

Периодическими называют сигналы, обладающие следующим свойством

x(t) = x(t – kT), где Т – период, k = 0, ±1, ±2, ±3,… .

Как известно, такие функции (если они удовлетворяют известным из математики условиям Дирихле, которые для интересующих нас случаев всегда выполняются) можно представить суммой тригонометрического ряда (ряда Фурье)

, (2.2)

где , ,

.

Форма (2. 1) ряда Фурье удобна с точки зрения простоты вычисления коэффициентов разложения a_kи b_k . Ряд Фурье можно записать иначе

, (2.3)

где , , ,

.

Совокупность амплитуд A_k называют амплитудным, а совокупность фаз j_k – фазовым спектрами. Их можно изображать графически (рис. 2.1). Амплитудный и фазовый спектры сигнала в совокупности однозначно определяют его форму (временную зависимость).

Ak A1 A0 A2 A3 A5 A4 A6 A7 0 F1 2F1 3F1 4F1 5F1 6F1 7F1 f jk j1  j4 j6 j3 j7 0 f j2 j5   Рис. 2.1. Амплитудный и фазовый спектры

Наиболее компактной является запись ряда Фурье в комплексной форме

, (2.4)

где .

Комплексный спектр (2.4) можно интерпретировать как представление x(t) в виде сумм спектральных составляющих , каждая из которых представляет собой пару гармонических колебаний с половинной амплитудой на положительной (+|k|w₁) и отрицательной (–|k|w₁) частотах. Для вещественных функций x(t)

– амплитудный спектр – чётная функция частоты,

– фазовый спектр – нечётная функция частоты.

Сопоставляя (2.2) и (2.4) с (2.1), нетрудно убедиться, что ряд Фурье является частным случаем обобщённого ряда Фурье при выборе в качестве базиса совокупности тригонометрических или экспоненциальных функций.

Выводы

1. Математическим аппаратом спектрального анализа периодических сигналов являются ряды Фурье.

2. Спектры периодических сигналов дискретные (линейчатые), представляют собой совокупность амплитуд и фаз гармонических колебаний (составляющих) следующих по оси частот через интервалы Δf = f₁ = 1/T.

3. Ряд Фурье является частным случаем обобщенного ряда Фурье при использовании в качестве базиса

или .