Пассивными двухполюсниками механических схем являются механическое

сопротивление В, масса М и упругости К. Идеальными источниками механи-

ческой энергии являются источник скорости и источник силы. Уравнение связей механических двухполюсников выражают условия равновесия сил и непрерывности перемещений (скоростей).

Согласно уравнениям механических двухполюсников и уравнений связей

записывают дифференциальное уравнение для перемещений:

Md²x/dt² + Bdx/dt + kx = 0 (2 – 13)

В этом однородном уравнении отсутствует правая часть, описывающая вне-

шнее воздействие на механическую систему, т.е. она автономна. Свободное

движение автономной системы является следствием ненулевых начальных условий, например начального смещения х(0) от равновесного состояния.

Следует отметить, что на рис.2.12. связи между компонентами не являются

направленными, а сами двухполюсники не имеют входов и выходов. Между

переменными, характеризующими состояние схем, нет объективных причи- нно-следственных отношений. Можно считать, что напряжение на резисторе

является причиной протекающего по нему тока, но можно сказать и иначе –

протекающий ток является причиной падения напряжения на резисторе. Вме-

сте с тем, взаимодействие между схемой и средой, моделируемой источника-

ми, имеет причинно-следственный, направленный характер.

Таким образом, в результате аналитического моделирования сложных объ-

ектов получают системы уравнений в непричинно-следственной форме отно-

сительно внутренних переменных.

При проектировании систем управления, когда некоторые элементы не су-

ществуют в натуре, аналитический метод построения моделей является един-

ственно возможным.

Экспериментальный способ.

Если свойства объекта определены в недостаточной степени, либо происхо-

дящие явления слишком сложны для аналитического описания, то для пост-

роения математической модели реально существующих объектов применяет-

ся экспериментальный способ. Этот способ заключается в активных экспери-

ментах над объектом или в пассивной регистрации его поведения в режиме нормальной эксплуатации (рис.2.13,а)

вход выход

выход

а)

Модель

f(t) у(t) (б)

Рис.2.13. Экспериментальное исследование системы (а)

и модель вход-выход (б)

В результате обработки данных наблюдений получают модели требуемой

формы. Совокупность этих операций объединяется термином идентификация

объекта. В результате индентификации (отождествления) получаются модели

вход – выход (рис.2.13,б).

Очевидно, модель зависит не только от свойств объекта, но также от вход-ных сигналов, и их разнообразия.

Практически об идентифицируемом объекте всегда имеется какая-то апри-

орная информация, т.е. от не является “черным ящиком”. Это позволяет ком-

бинировать оба способа – вначале аналитически строить структуру модели и определять начальные приближенные значения параметров, а далее обработ-

кой экспериментальных данных уточнять их значения.

Особенности структурных моделей систем управления.

Особенностью математических моделей систем управления является то, что

они не только содержат априорную информацию о ее динамических свойст-

вах, необходимую для изучения поведения системы в целом, но также отра-

жают процессы получения и обработки текущей информацию цели системы,

состоянии объекта и взаимодействиях среды для принятия решения по оказа-

нию на объект надлежащего управляющего воздействия.

При построении моделей систем управления и выборе форм их представле-

ния учитываются не только динамические, но и информационные, а также алгоритметрические аспекты проблемы. Так как модели элементов и систем

являются основным материалов в задачах анализа и синтеза ( исходными данными и результатами), то этим задачам и алгоритмам их преобразования

в теории управления отводят важное место.

Модели систем управления с раскрытой причинно-следственной структурой.

Понятие модели системы управления неотделимо от понятия структуры. Под

структурой систем управления понимают причинно-следственные взаимосвя-

зи элементов (подсистем) направленного действия. Именно ориентирован-

ность элементов и их взаимосвязей отличает модели систем управления от

структурных моделей физических систем вообще. При построении моделей

с раскрытой причинно-следственной структурой (рис.2.14) объект или сис- тему предварительно расчленяют на элементы направленного действия и рассматривают их как преобразователи сигналов.

Элементы, как правило, выделяются по функциональному признаку, причем сами эти функции понимаются в контексте операций управления: объект уп-равления; измерительные, преобразовательные и усилительные элементы; управляющее устройство; исполнительный механизм; управляющий орган.

х₄

f х₁ х₂ у

х₃

Рис.2.14. Система управления с раскрытой структурой

Примером такого расчленения является представленная ранее функциона-

льная схема (см.рис.2.1). Далее для каждой части строится своя модель, а за-

тем модели частей связывают между собой таким же образом, как соединяю-

тся сами части.

Если части системы образуют контуры, то моделирование по частям встре-

чается с принципиальной проблемой: не зная свойств частей, нельзя описать

сигналы на их входах; не зная сигналов, нельзя правильно идентифициро-

вать отдельные части. Кроме этого, возникают известные трудности и при

принятии допущения об однонаправленности частей.

Достоинство моделирования по частям – модели содержат в общем случае большую информацию о системе; они вскрывают механизм преобразования входов в выходы.

С точки зрения специалиста по управлению, модели вход-выход (см. рис.

2.13,б) и структурные модели физических систем (рис.2.12) имеют нулевойуровень причинно-следственной интеграции. Модель изображенная на рис.2.14. образована ориентированной взаимосвязью подсистем нулевого уровня и, следовательно, имеет первый уровень. Дальнейшее раскрытие структур подсистем приводит к многоуровневым (иерархическим) моделям.

Иерархический подход к моделированию позволяет разработать методы ис-

следования и проектирования сложных систем управления (например, каска-

дные и другие).

В силу одного из принципов системного подхода – принципа рекурентного

(близкорасположенного) объяснения – поведение системы L-го уровня объя-

сняется свойствами подсистем непосредственно нижележащего – (L-1)-го уровня и особенностями их взаимосвязей. Поэтому при разработке методов анализа и синтеза можно ограничится рассмотрением моделей нулевого и первого уровней.

2.6. Линейные модели и характеристики систем управления.

Модели ВХОД-ВЫХОД. Основными формами представления операторов преобразования входных переменных f(t) в переменные выхода у(t) являют-ся дифференциальные уравнения, передаточные функции, временные и час- тотные характеристики. Для одномерных систем переменные f(t) и у(t) яв- ляются скалярами. Эти и некоторые другие представления операторов рас- сматриваемого класса моделей могут быть приняты за основу задания дина- мических свойств в терминах вход-выход. Если для конкретных исследова-

ний та или иная форма оказывается более предпочтительной, ставится и ре-

шается и решается задача перехода от одной формы к другой например, пос-

троение временных и частотных характеристик по дифференциальному ура-

внению или передаточной функции.

Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с пос-

тоянными коэффициентами имеет вид:

a_ndⁿу/dtⁿ + …. + a₁dу/dt + a_oу = b_md^mf/dt^m + ….. + b₁df/dt + b_of (2 – 14)

Если ввести оператор дифференцирования по времени р º d/dt, то уравне- ние (2-14) запишется в компактной форме

А(р) у(t) = В(р) f(t) , (2 – 15)

где А(р) = a_npⁿ + …. +a₁p + a_o ; В(р) = b_mp^m + …. +b₁p + b_o – операторные по-

линомы. Дифференциальное уравнение дополняется начальными условиями у(0), у’(0), … , у^(n-1)(0).

Передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу перемен-

ных выхода и входа при нулевых начальных условиях W(s) = У(s)/F(s) , где

интегральное преобразование Лапласа определяется так:

У(s) = L{у(t)} = у(t) е ^–stdt;

F(s) = L{f(t)} = f(t) e ^–st dt

Преобразуя дифференциальное уравнение (2-14) при начальных условиях,

получим алгебраическое уравнение для изображений

А(s) У(s) = B(s) F(s).

Отсюда следует, что передаточная функция легко записывается по диффере-

нциальному уравнению W(s) = B(s) / A(s) (2 – 16)

и наоборот, по передаточной функции сразу записывается дифференциальное

уравнение.

Зная передаточную функцию и изображение переменной входа, легко найти

изображение выхода У(s) = W(s) F(s).

Временные характеристики.

Временные характеристики являются одной из форм представления операто-

ров преобразования переменной f(t) в переменную у(t).

Импульсная переходная функция или функция веса w(t) – реакция системы

на единичный идеальный импульс d(t) при нулевых начальных условиях. Пе-

ременная выхода определяется как интервал свертки

у(t) = w(t) f(t-t)dt , (2 – 17)

т.е. в этом случае оператор преобразования имеет форму интегрального урав-

нения.

Другая, часто употребляемая временная характеристика – переходная харак-

теристика h(t) – реакция системы на единичную ступенчатую функцию 1(t) при нулевых начальных условиях. На рис.2.15 представлен примерный вид временных характеристик для системы второго порядка.

w h

0 t 0 t

а) б)

Рис.2.15. Временные характеристики: а) функция веса;

б) переходная характеристика

Частотные характеристики.

Частотные характеристики элементов и систем представляют собой зависи-

мость параметров установившихся реакций на гармонические сигналы всех частот и единичных амплитуд. В линейных системах форма и частота устано-

вившейся реакции совпадают с формой и частотой сигнала на выходе. Комп-

лекная частотная характеристика W(jw) дает возможность определить ампли-

туду R(w) и фазу j (w) гармонического сигнала на выходе системы по значе-

нию частоты: W(jw) = R(w) e ^jj(w) = P(w) + JQ(w) , (2 – 18)

где R(w) = mod W(jw) и j (w) = arg W(jw) – амплитудная и фазовая частот-

ные характеристики, а P(w) = Re W(jw) и Q(w) = Im W(jw) – вещественная и

мнимая частотные характеристики. На рис.2.16. приведен пример годографа

W(jw), называемого амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Реальные объекты с повышением частоты хуже пропускают сигналы – ос-

лабляют амплитуду и вносят отрицательный фазовый сдвиг.

L

w = ∞ Р(w) w = 0

- 20

j (w)

W(jw)

R(w) - 40

Q(w) (w)

w

Рис.2.16. Пример AФХ Рис.2.17. Пример ЛАЧХ

Амплитудно-частотные характеристики удобно представлять в логарифми-

ческом масштабе L(w) = 20lgR(w).

Если частота изменяется в логарифмическом масштабе, то логарифмичес-

кие амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) во многих практически

важных случаях мало отличаются от прямолинейных асимптот с наклонами,

кратными 20дБ/дек.

На рис.2.17. представлен примерный вид асимптотической ЛАЧХ; пунктир-

ная линия – точная ЛАЧХ, а также указаны наклоны асимптот в дБ/дек.

Передаточные функции, все нули и полюсы которых находятся в левой полу-

плоскости, называют минимально-фазовыми. Такие передаточные функции соответствуют меньшим по модулю фазовым сдвигам по сравнению с любы-

ми другими передаточными функциями, имеющими ту же ЛАЧХ, но часть нулей и/или полюсов справа от минимальной оси.

Преобразование форм представления моделей вход-выход.

Известно, что любая из форм представления операторов может быть приня-

та за основу задания динамических свойств систем, для конкретных исследо-

ваний, так как та или иная форма оказывается более рациональной. Возника-

ет необходимость перехода от одной формы к другой. Многие задачи анализа связаны с преобразованием формы представления оператора. В ряде случаев

эта процедура составляет наиболее трудоемкий этап анализа – построения частной модели – приведение к форме, позволяющей непосредственно вычи-

слять показатели качества и вывести суждение о соответствии поведения сис-

темы заданным требованиям (например, построение временных или частот-

ных характеристик системы управления).

Переходы между различными формами представления операторов следует

рассматривать как дуги орграфа, вершинам которого соответствуют формы представления, как приведено на рис.2.18.

Рис.2.18. Орграф взаимосвязи

форм представления операторов:

ДУ-дифференциальное уравнение;

ЧХ – частотные характеристики;

ПФ – передаточная функция;

ВХ – временная характеристика.

Наиболее прост формальный переход путем замены оператора дифференци-

рования р º d/dt на комплексный аргумент (s) от дифференциального уравне-

ния (2-15) к передаточной функции (2-16) и обратно. Осуществляя переход к передаточным функциям, необходимо избегать сокращения общих делителей

полиномов числителей и знаменателей, т.е. диполей рациональных функций.

Такое сокращение приводит к потере части собственных составляющих дви-

жения при нулевых предначальных условиях (составляющих собственных движений).

Пунктирные линии графа взаимосвязи (см. рис.2.18.) отвечают переходам,

рассматриваемым обычно в задачах идентификации. По временным и/или частотным характеристикам, полученным экспериментально, оценивают па-

раметры передаточных функций или ординаты характеристик иного типа.

Такие переходы оказываются неоднозначными, а их результаты зависят от выбора структуры оператора и алгоритма обработки данных.

Типовые звенья.

Известно, что любую систему управления можно представить в виде соеди-

нения типовых динамических звеньев.

Элементарные звенья – это простые множители, входящие в состав переда-

точной функции системы или ее части. Звено принято изображать в виде пря-

моугольника, в контур которого вписывают оператор, характеризующий ди-

намику преобразования входного сигнала в выходной. Обозначения входных, промежуточных и выходных переменных, возмущающих и управляющих воздействий записывают над линией или с правой стороны линии связи, по-

казывающей место приложения соответствующего сигнала. Промежуточные

переменные – это координаты, связывающие отдельные звенья структурной

схемы. Суммирующие элементы (сумматоры) изображают в виде круга, раз-

деленного на секторы.

При представлении модели системы в форме пространства состояний, для

реализации любой физически осуществимой передаточной функции достато-

чно двух типов звеньев: интеграторов и усилителей. Если степень числителя передаточной функции m превышает степень знаменателя n, то необходимо

звено дифференцирующего типа. Удобнее форму оператора представить в виде оператора дифференцирования рºd/dt (cм. рис.2.5).

К типовым звеньям относят устойчивые элементарные звенья. Практичес-

кое применение в основном имеют нижеследующие звенья:

Вид звенаПередаточная функция W(р) звена

пропорциональное (усилительное) W(p) = K

интегрирующее W(p) = 1/Тр

дифференцирующее W(p) = Кр

апериодическое (1 порядка) W(p) = К/Тр + 1

апериодическое (2 порядка) W(p) = К/Т₂² р² + Т₁р + 1

где К – коэффициент усиления; Т – постоянная времени

В теории управления состав типовых звеньев несколько расширен исходя

из соображений удобства – необходимы звенья, моделирующие часто встре-

чающие случаи, а также представления передаточных функций общего вида

последовательным и параллельным соединением типовых звеньев (например,

пропорционально-дифференцирующее звено: W(p) = K(Tp + 1).

К типовым соединениям относят последовательное, параллельное и паралле-

льно-встречное (с обратной связью) соединение звеньев. На рис.2.19. приве-

дены вышеуказанные типовые соединения звеньев.

а)

прямая цепь

х х-у₂ у

у у₂

х

в)

б) обратная цепь

Рис.2.19. Типовые соединения звеньев

Последовательное соединенные звенья W₁(p),……, W_n(p) можно заменить

одним звеном (рис.2.19,а) с передаточной функцией W_n(p), равной произве-

дению передаточных функций отдельных звеньев:

W(p) = W₁(p),…….., W_n(p) = W₁(p) (2 – 19)

Эквивалентная передаточная функция W_n(p) параллельно включенных зве-

ньев W₁(p),……,W_n(p) равна их сумме (рис.2.19,б):

W(p) = W₁(p) + ………. + W_n(p) = W_i(p) (2 – 20)

В соединениях с обратной связью (см. рис.2.19,в) различают прямую и об-

ратную цепи. Прямая цепь – это участок системы (схемы) по ходу передачи

сигнала от входного воздействия f к выходной координате у.

2.7. Анализ систем управления.

Анализ систем управления состоит в изучении их общесистемных свойств, условий выполнения ими своих функций и достижения заданных целей.

Основными требованиями к свойствам поведения систем управления явля-

ются: устойчивость поведения (движения), инвариантность управляемой пе-

ременной к возмущениям и ковариантность к задающим воздействиям; гру-

бость (параметрическая инвариантность, робастность), т.е. ограниченная чув-

ствительность свойств системы к вариациям характеристик элементов.

Основными задачами анализа систем управления являются: определение фактов устойчивости, инвариантности и робастности; построение характери-

стик и вычисление показателей качества; вывод об удовлетворительном (или

неудовлетворительном) поведении системы.

Анализ устойчивости.

Устойчивость по начальным условиям (по Ляпунову) – свойство собственно

системы. Если система устойчива, то затухают все составляющие свободных

движений, вызванных любыми ненулевыми начальными условиями. Свойст-

во устойчивости линейных непрерывных систем анализируется по модели

свойств свободных движений автономных систем (см. рис.2.5) в форме одно-

родных дифференциальных уравнений n-го порядка

А(р)у(t) º а_nу⁽ⁿ⁾ + …. + a₁у’ + а_оу = 0 (2 – 21)

Свободные движения.

Преобразуя дифференциальное уравнение (2-21) по Лапласу с учетом нача-

льных условий: у(0), у’(0),…., у^{(n -1)}(0) получим

А(s)У(s) = A_н(s), (2 – 22)

где A_н(s) – полином, коэффициенты которого зависят от начальных условий.

Из алгебраического уравнения (2-22) легко получить изображение решения

уравнения (2-21) У_св(s) = A_н(s)/A(s).

В случае, когда характеристический полином системы А(s) имеет только

простые корни s_i ; i=1,…., n, выражение для свободных движений имеет вид

у_св(t) = A_н(s_i)/A’(s_i) e ^Sit = C_ie ^Sit (2 – 23)

Здесь знак (‘) означает дифференцирование полинома по S. Если корни по-

линома А(s) кратные, то вместо коэффициентов С_i в выражении (2-23) поя-

вятся полиномы от t со степенями ниже кратности корня s_i.

Условия устойчивости.

Из выражения (2-23), что необходимым и достаточным условием затуха-

ния экспонент является отрицательность действительных корней

V_i = 1,….., n; Re s_i < 0 (2 – 24)

На рис.2.20. приведен пример расположения корней характеристического полинома асимптотически устойчивой системы пятого порядка на комплекс-

ной плоскости. Все корни находятся в открытой левой полуплоскости, т.е.

строго левее мнимой оси. Поэтому часто фиксируют, что для асимптотичес-

кой устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни харак-

теристического полинома были левыми.

Следует отметить, что если характеристический полином имеет простые ко-рни на мнимом оси, то имеет место устойчивость по Ляпунову (но не асимп-

тотическая).

Устойчивость вход-выход.