Учитывая, что получим

Тогда компоненты напряжений на границе раздела сред можно переписать в виде:

Равенство перемещений и компонент вектора напряжений на границе раздела приводит к следующей системе уравнений:

Для упрощения записи введем в качестве новых неизвестных отношение амплитуд отраженных и преломленных волн к амплитуде падающей волны:

Тогда граничные приводят к системе уравнений :

Полученная система уравнений позволяет найти амплитуды отраженных и преломленных волн численно. Поскольку аналитические вычисления в общем случае громоздки, рассмотрим предельные случаи падения волны на жесткую стенку и на свободную поверхность. В первом случае достаточно приравнять к нулю перемещения на границе при Система уравнений при этом примет вид:

,

А ее решения будут иметь вид

Интересно отметить, что в предельном сучае, когда , получим Это означает, что при нормальном падении продольной волны, поперечная волна не отражается, а отраженная продольная волна имеет амплитуду, равную амплитуде падающей волны.

Можно задать вопрос: возможна ли реализация такого отражения, при котором отражается только поперечная волна, а амплитуда продольной отраженной волны равна нулю? Это означает равенство нулю выражения Учитывая, что углы отражения связаны со скоростями волн соотношением получим уравнение для определения :

Приведенное квадратное уравнение

Имеет корни , лишь один из которых является подходящим по физическому смыслу, но он соответствует предельному случаю , в котором волна не падает, а распространяется параллельно стенке. Вывод однозначен – при всех углах падения отражаются как продольная, так и поперечная волны.

Рассмотрим случай падения продольной волны на свободную поверхность. В этом случае на границе должны быть равны нулю компоненты вектора напряжений Это приводит к системе уравнений:

Решение которой дают выражения:

В предельном случае нормального падения продольной волны ( ) получим ожидаемый результат