Напряжения при чистом изгибе
Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чистым изгибом. Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а поперечные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие, изгибающий момент, согласно второго выражения (5.4), вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z) = const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих моментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса принимает форму дуги окружности с радиусом кривизны r (рис. 5.6). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба переместятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.
Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга.
Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz (рис. 5.6).
В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между собой угол d Q, в связи с чем верхние волокна удлиняются, а нижние - укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом CD = C¢D¢= dz = rdQ. Произвольный отрезок АВ, расположенный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину A ¢B ¢ - AB. С учетом построений, изображенных на рис. 5.6, легко определить величину его линейной деформации:
|
. (5.6)
Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения - сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям s можно осуществить посредством закона Гука: 
(5.7)
Рис. 5.7
|
Установим положение нейтральной оси x, от которой происходит отсчет координаты у (рис. 5.7). Учитывая, что сумма элементарных сил sdF по площади поперечного сечения F дает нормальную силу Nz . Но при чистом изгибе Nz = 0, следовательно:
.
Как известно, последний интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.
Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx через s. Очевидно, что
. (5.8)
C учетом выражения (5.7) получим:
.
Откуда
, (5.9)
где 
- кривизна нейтрального волокна; EIx - жесткость бруса.
Из формулы (5.7), исключая 1/r, окончательно получим:
. (5.10)
Откуда следует, что нормальные напряжения s в поперечном сечении бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = ymax):
,
где 
- момент сопротивления сечения.
Энергия упругих деформаций бруса при изгибе V определяется работой момента Mx на соответствующем угловом перемещении d Q:
, с учетом 
и 
,
окончательно получим
. (5.11)
Примеры расчетов
Для статически определимых систем: схемы I (консольная балка, рис. 5.8, а), схемы II (двухопорная балка с консолями, рис. 5.13) и схемы III (плоской рамы в виде ломаного бруса, рис. 5.17) при последовательном их рассмотрении требуется:
1. Построить эпюры Mx и Qy для всех схем и эпюру Nz для схемы III;
2. Руководствуясь эпюрой Mx , показать на схемах I и II приблизительный вид изогнутой оси балки. По опасному сечению подобрать размеры поперечного сечения:
а) для схемы I - прямоугольное h´b при расчетном сопротивлении RH = 16×103 кН/м2 (клееная древесина); h:b = 1,5;
б) для схемы II - двутавровое (ГОСТ 8239-72) при расчетном сопротивлении RH = 200×103 кН/м2 (сталь);
Решение
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 1229;