Схема III. Плоская рама (задача № 8)

Заданная плоская стержневая система (рис. 5.17, а), элементы которой представляют собой прямолинейные стержни, жестко сое­диненных между собой, называется рамой. При произвольном характере нагружения, в поперечных сечениях элементов заданной системы возникают следующие три силовых фактора: поперечная сила Q, изгибающий момент M и продольная сила N. Главной от­личительной особенностью рамной системы от других стержневых систем является то, что в деформированной состоянии угол сопря­жения между различными элементами равен углам сопряжения элементов до нагружения системы.

Правило знаков для Q_y , M_x и N_z и порядок построения их эпюр для таких систем остаются прежними.

Так как заданная система имеет только три внешние связи (вертикальную и горизонтальную в т. D и горизонтальную в т. А), следовательно, при общем характере нагружения возникает всего три опорные реакции. Как нам уже известно, для плоских систем можно воспользоваться только тремя уравнениями равновесия ста­тики для определения опорных реакций, поэтому заданная система является статически определимой.

Рис. 5.17

Построить эпюры Q_y, M_x и N_z.

Определение опорных реакций. Составив уравнения равновесия для всей рамы и решив их, получим:

Sy = 0, R_D = 0;

SM_D = 0, -H_A ×8 + Р×4 + q×4×2 = 0, кН;

SM_A = 0, H_D ×8 - Р×4 - q×4×6 = 0, кН.

Проверка: Sx = 0; H_A + H_D - Р - q×4 = 0;

4 + 8 - 4 - 2×4 = 0; 12 - 12 = 0; 0 = 0.

Уравнение равновесия превращается в тождество, что говорит о правильности вычисления опорных реакций.

Определение количества участков

Так как, в рамах границами участков являются точки приложе­ния сил и точки изменения направления оси элементов системы, то заданная система имеет три участка: участок I - АВ, участок II -ВС, участок III - СD (рис. 5.13, б).

Составление аналитических выражений Q_y, M_x и N_z и оп­ределение их значений в характерных сечениях каждого участка

Определение внутренних силовых факторов в сечениях рам производится также с помощью метода сечений. Однако при вы­полнении разрезов всегда следует выяснить, какую из частей рамы считать левой, а какую правой. Для этого предполагают, что обход рамы ведется слева направо, т.е. от А к В, от В к С, от С к D. При этом наблюдение ведут с нижней стороны участков, находясь ли­цом к оси участков.

Участок I (0 £ z₁ £ 4 м) (рис. 5.18).

Рис. 5.18

Проведя сечение в пределах этого участка, рассмотрим равновесие левой отсеченной час­ти длиной z₁ . Составив уравнение равновесия Sy = 0 и и Sz = 0 для этой части и решив их относительно , и , полу­чим аналитические выражения изменения Q_y , M_x и N_z на участке I:

Sy = 0, -H_A - =0, = - H_A - const;

, - H_A×z₁ - = 0, = - H_A×z₁ -уравнение прямой;

Sz = 0, = 0 - нормальная сила отсутствует.

Величины Q_y , M_x и N_z в граничных сечениях участка будут равны:

при z₁ = 0 = -4 кН, = 0, = 0;

при z₁ = 4 м = -4 кН, = -4×4 = -16кН×м, = 0.

Участок II (0 £ z₂ £ 4 м) (рис. 5.19).

Рис. 5.19

Сделав сечение в пределах этого участка, составим уравнения равнове­сия для левой части:

Sy = 0, = 0;

, - - H_A×4 = 0,
= - H_A×4 = -4×4 = -16 кН×м;

Sz = 0, H_A + = 0, = - H_A = -4 кH.

Знак “минус” перед говорит о том, что элемент ВС сжат, а не растянут. Из полученных уравнений видно, что на участке II по­перечная сила равна нулю, а изгибающий момент и нормальная сила постоянны.

Участок III (0 £ z₃ £ 4 м) (рис. 5.20). Приняв начало координат в сечении D и сделав разрез в пределах этого участка, рассмотрим равновесие правой отсеченной части длиной z₃ . Составив урав­нения равновесия Sy = 0; = 0 и Sz = 0 и решив их, полу­чим:

Рис. 5.20

Sy = 0, - H_D + q×z₃ = 0,
= H_D - q×z₃ - уравнение прямой.

, + H_D ×z₃ - ,

= -H_D ×z₃ + - уравнение квадрат­ной параболы;

Sz = 0, N_z = 0.

Ординаты эпюр найдем из полученных выражений, подставив в них значения z₃ , соответствующие граничным сечениям участка:

при z₃ = 0 = 8 кН, = 0, = 0;

при z₃ = 4 м = 8 - 2×4 =0, = -8×4 + = -16 кН×м, = 0.

Для уточнения очертания квадратной параболы определим величину при z₃ = 2 м:

кН×м.

Построение эпюр Q_y , M_x и N_z для бруса с ломанной осью (рамы)

Отложив в масштабе перпендикулярно к оси каждого элемента рамы полученные значения Q_y , M_x , N_z в граничных и проме­жуточных сечениях участка и соединяя концы ординат линиями, соответствующими выражениям Q_y , M_x и N_z , строим их эпюры (рис. 5.17, в, г, д).

Правильность построения эпюр внутренних усилий подтверж­дается на основе статической проверки, заключающейся в том, что условия равновесия рамы (Sx º 0; Sy º 0; SM º 0;), как в целом, так и любой ее отсеченной части, под воздействием внешних нагрузок и усилий, возникающих в проведенных сечениях, соблюдаются тождественно.