Схема I. Консольная балка (задача №6)
Учитывая особенности рассматриваемой системы (рис. 5.8, а), чтобы исключить необходимость определения опорных реакций, достаточно применяя метод сечений, последовательно рассмотреть те отсеченные части системы от заданного сечения, в котором отсутствует опорное сечение.
1. Построить эпюры Qy и Mx . Для построения эпюр Qy и Mx определяем количество участков, затем, используя метод сечений, составляем аналитические выражения изменения Qy и Mx в зависимости от текущей абсциссы z для каждого участка.
Рис. 5.8
Определение количества участков балки
Границами между двумя смежными участками, как правило, являются места расположения тех сечений, где происходит скачкообразное изменение: физико-механических характеристик материала конструкций; геометрических характеристик поперечных сечений (формы и/или размеров), а также внешних нагрузок. В данном случае, рассматриваемая балка, имеющая постоянное поперечное сечение (рис. 5.8, б) имеет три участка: участок I - DС, участок II - СВ, участок III - ВА.
Составление аналитических выражений Qy и Mx и определение значений в характерных сечениях
Проведя сечение I-I, рассмотрим равновесие правой отсеченной части балки длиной z1, приложив к ней все действующие справа от сечения заданные нагрузки и внутренние силовые факторы Qy и Mx , возникающие в сечении, которые заменяют действие отброшенной части балки (рис. 5.9). При этом, предполагаем, что изображенные на рисунке внутренние силовые факторы положительны.
Составив уравнения равновесия Sy = 0 и = 0 для этой части балки и решив их, найдем выражения для и в зависимости от z1 на участке I (0 £ z1 £ 1 м):
Sy = 0, = 0;
, + m = 0, = -m = -10 кН×м.
Полученные выражения показывают, что на участке I и - const. Знак “минус” у говорит о том, что момент в сечении I-I вызывает растяжение верхних, а не нижних волокон, как это показано на рис. 5.9.
Участок II (1 м £ z2 £ 2 м).
Составим уравнения Sy = 0 и для отсеченной сечением II-II правой части балки (рис. 5.10) и определим из них и :
Sy = 0, кН;
, + m - P (z2 - 1) = 0, = -m + P (z2 - 1) .
Из полученных выражений для и видно, что на участке II величина постоянна, а величина изменяется в зависимости от z2 по закону прямой линии. Знак “минус” у показывает, что в сечении II-II возникает поперечная сила, действующая в направлении, обратном показанному на рис. 5.10.
Теперь, подставляя значения z2 для характерных сечений участка II в полученные аналитические выражения, определим величины и , возникающие в этих сечениях, т.е. ординаты эпюр Mx и Qy в точках С и В (рис. 5.8, б).
при z2 = 1 м; = -30 кН; = -10 + 30 (1 - 1) = -10 кН×м;
при z2 = 2 м; = -30 кН; = -10 + 30 (2 - 1) = 20 кН×м.
Участок III (2 м £ z2 £ 4 м).
Составим уравнения равновесия Sy = 0 и для отсеченной сечением III-III правой части балки (рис. 5.11) и, решив их, получим,
Sy = 0, ;
, + m - P (z3 - 1) + 0,5 q (z2 - 2)2 = 0,
= -m + P (z3 - 1) - 0,5 q (z2 - 2)2 .
Таким образом, величина на участке III изменяется по закону прямой линии, а величина - по закону квадратной параболы.
Рис. 5.11 |
Подставив значения z3 , соответствующие характерным сечениям участка, в аналитические выражения изменения и , определим координаты эпюр для сечений В и А (рис. 5.8, б).
При z3 = 2 м = -30 + 20×(2 - 2) = - 30 кН;
= -10 + 30 (2 - 1) - 0,5×20×(2 - 2)2 = 20 кН×м.
При z3 = 4 м = -30 + 20×(4 - 2) = 10 кН;
= -10 + 30 (4 - 1) - 0,5×20×(4 - 2)2 = 40 кН×м.
Так как, поперечная сила в пределах участка меняет знак, т.е. имеет промежуточное нулевое значение (рис. 5.8, в), то в этом сечении возникает экстремальное значение изгибающего момента. Для определения его величины вначале найдем значение z0 , при котором = 0. Для этого, приравняв выражение для нулю, получим:
-P + q (z0 - 2) = 0, м.
Подставив найденное значение z0 = 3,5 м в аналитическое выражение изменения , вычислим величину Mmax:
кН×м.
Построение эпюр Qy и Mx для всей балки
Отложив перпендикулярно к оси абсцисс (линии, параллельной оси балки) в удобном для пользования масштабе вычисленные значения Qy и Mx в характерных и промежуточных сечениях каждого участка и соединяя концы полученных ординат линиями, соответствующими законам изменения Qy и Mx на каждом участке, построим эпюры Qy и Mx для всей балки (рис. 5.8, в, г). При этом положительные ординаты эпюры Qy откладываются вверх, а отрицательные - вниз по оси абсцисс. Ординаты же эпюр Mx откладываются со стороны растянутого волокна. На эпюрах Qy обязательно указываются знаки, а на эпюре Mx знаки можно не ставить.
Проверка правильности построения эпюр Qy и Mx
Рис. 5.12 |
Для этого необходимо вначале проверить соответствие эпюры Qy эпюре Mx согласно дифференциальной зависимости , из которой следует, что эпюра Qy представляет собой эпюру тангенсов угла наклона касательных эпюры Mx к оси балки. В самом деле, на участке II балки (рис. 5.8, г) тангенс угла наклона касательной эпюры Mx к оси балки (рис. 5.12) равен:
кН.
При этом, знак поперечной силы будет положительным, если угол образован вращением оси балки или элемента системы по ходу часовой стрелки, и отрицательным, если угол образован вращением этой оси против часовой стрелки до совмещения с эпюрой Mx .
В рассматриваемом примере угол a образован вращением оси балки против часовой стрелки, поэтому поперечная сила на этом участке будет отрицательной. После указанной проверки полезно также проверить выполнение следующих положений:
1. Эпюра Mx на участке между сосредоточенными силами, а также между сосредоточенными силой и моментом, и между началом или концом действия равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенными силой и моментом всегда изменяется по закону прямой линии, наклонной к оси элемента, а в пределах действия равномерно распределенной нагрузки по закону квадратной параболы, имеющей выпуклость в сторону ее действия, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;
2. Под точкой приложения сосредоточенной силы эпюра Mx имеет излом, острие которого направлено в сторону действия силы, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;
3. На эпюре Mx в месте действия сосредоточенного момента m имеет место скачок, равный его величине;
4. Над шарнирными опорами двухшарнирной балки изгибающий момент может быть только в тех случаях, когда в опорных сечениях приложены сосредоточенные моменты или когда на консолях, расположенных за опорами, приложены нагрузки. Во всех других случаях изгибающие моменты в шарнирах равны нулю;
5. На участке действия равномерно распределенной нагрузки изгибающий момент достигает экстремального значения Mx =
= Mmax в том сечении, где поперечная сила , т.е. переходит через нуль, меняя знак;
6. Поперечная сила Qy на участке равна нулю, если во всех сечениях по длине этого участка Mx = const;
7. Эпюра Qy постоянна на участках между сосредоточенными нагрузками и изменяется по закону наклонной прямой лишь на участках, где действует равномерно распределенная нагрузка;
8. Эпюра Qy в точках приложения сосредоточенных вертикальных сил (Р, RA , RB) имеет скачки, равные по величине приложенным в этих сечениях сосредоточенным силам, причем направление скачков всегда совпадает с направлением этих сил.
В нашем примере все эти положения выполняются.
2.1. Руководствуясь эпюрой Mx, показать приблизительный вид изогнутой оси балки. При построении приблизительного вида изогнутой оси балки по эпюре Mx необходимо знать, что знак изгибающего момента связан с характером деформации балки от действия заданной внешней нагрузки. Если на участке балки изгибающий момент положителен, то балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, а если отрицателен - выпуклостью вверх. В тех же сечениях, где изгибающий момент равен нулю, кривизна балки меняет свой знак, т.е. ось балки в этих сечениях имеет точки перегиба. При этом всегда следует помнить, что прогибы балки на опорах равны нулю.
Анализируя эпюру Mx (рис. 5.8, г), видим, что на участке АО растянуты нижние волокна, значит, на этом участке изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. На участке ОД растянуты верхние волокна, поэтому изогнутая ось балки на этом участке будет иметь выпуклость вверх. Таким образом, под точкой О, где Mx = 0, кривизна изогнутой оси балки меняет знак, т.е. упругая линия имеет в этом сечении точку перегиба. Учитывая это, строим приблизительный вид изогнутой оси балки (рис. 5.8, д).
2.2. Подбор поперечного сечения балки. Опасным сечением является то, в котором возникает наибольший по абсолютной величине изгибающий момент. В нашем примере опасным является сечение Е, где Mmax = 42,5 кН×м. Прямоугольное сечение балки из клееной древесины подбираем из условия прочности при расчетном сопротивлении RH = 16×103 кН/м2 и соотношения h/b = 1,5:
,
откуда требуемый момент сопротивления сечения балки при изгибе будет равен:
= 2,66×10-3 м3.
Момент сопротивления прямоугольного сечения равен:
.
Приравняв его , получим =
= 0,288 м, тогда:
0,192 м.
Округляя, принимаем брус поперечным сечением h´b = 0,29´ ´0,19 м2, (Wx = 2,663×10-3м3).
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 1085;