Материальная производная по времени.

Ясно, что математически точка зрения Эйлера отличается от точки зрения Лагранжа только тем, что в первой переменными являются координаты точек пространства и время t, а во второй - параметры , индивидуализирующие точку сплошной среды, и время t.

Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера фактически реализуется соотношением (1.1.3), которое при фиксированных указывает те частицы ( ) сплошной среды, которые в разные моменты времени приходят в данную точку пространства. Таким образом, если движение с точки зрения Лагранжа известно и его надо определить с точки зрения Эйлера, то для этого требуется только разрешить закон движения (1.1.2) относительно , т. е. записать его в виде (1.1.3); переход от движения, заданного по Лагранжу, к описанию движения по Эйлеру сводится только к разрешению неявных функций.

Наоборот, пусть с точки зрения Эйлера задано распределение скоростей в пространстве. Как найти закон движения, т. е. перейти к описанию движения по Лагранжу? Возьмем декартову систему координат и пусть в ней известны компоненты скорости , которые в свою очередь являются производными от соответствующих координат по времени при постоянных параметрах , индивидуализирующих точку сплошной среды. Поэтому на соотношения

(1.3.1)

можно смотреть как на систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно . Решив эту систему, найдем как функции t и трех произвольных постоянных которые определяются по значениям в некоторый данный момент и, следовательно, являются параметрами, индивидуализирующими точку сплошной среды, - переменными Лагранжа. Таким образом, в результате решения этой системы дифференциальных уравнений находится закон движения (1.1.2), с помощью которого можно перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа во всех формулах, определяющих распределения параметров. Следовательно, переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа при заданном поле скоростей связан, вообще говоря, с интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ясно, что задания движения сплошной среды с точек зрения Лагранжа и Эйлера в механическом отношении эквивалентны друг другу и, например, любое физическое свойство континуума, приписанное индивидуальной частице (в лагранжевом, или материальном, описании), может также быть выражено для определенного места в пространстве, занятого этой частицей (в эйлеровом, или пространственном, описании). Скорость изменения со временем любого свойства в индивидуальных частицах движущейся среды называется материальной (или индивидуальной) производной по времени от этой величины. Материальную производную (также называемую субстанциональной или полной производной) можно представить себе как скорость из­менения рассматриваемой величины со временем, которая была бы измерена наблюдателем, движущимся вместе с индивидуальной частицей. Мгновенное положение частицы само является свой­ством этой частицы. Материальная производная по времени от положения частицы есть ее мгновенная скорость. Поэтому, принимая символ или точку над буквой для обозначения операции мате­риального дифференцирования (в нашей литературе не широко применяется, чаще используется просто ), получаем определение вектора скорости этой частицы:

(1.3.2)

Вообще, если — любое скалярное, векторное или тензорное свойство среды - континуума, которое можно описать локальной функцией координат, и если в лагранжевом представлении , то индивидуальная производная по времени от этой величины имеет вид , то есть при лагранжевом материальном описании оператор .

Если же некоторое свойство задано функцией в пространственных переменных, то вычисление материальной производной приводит к выражению

(1.3.3)

где второй член в правой части появляется из-за того, что индивидуальные частицы меняют свое местоположение в пространстве. Первый член в правой части (1.3.3) характеризует скорость из­менения данного свойства в фиксированной точке пространства и соответственно называется локальной (или местной) скоростью из­менения. Второй член в правой части равенства (1.3.3) называется конвективной скоростью изменения, так как он выражает вклад, обусловленный движением частиц в переменном поле данного свой­ства. Очевидно, что при эйлеровом, или пространственном, описании оператор в классическом понимании полной производной, поэтому его еще называют полной производной в этом материальном смысле. Принимая во внимание (1.3.2), для индивидуальной производной можно написать

(1.3.4)

где - k-ая компонента вектора скорости, что сразу наводит на мысль ввести оператор материального диф­ференцирования по времени

Линией тока называется определенная в данный момент времени линия, в каждой точке которой касательная направлена по вектору скорости . Дифференциальные уравнения линии тока для момента времени имеют вид (1.3.7)

Установившимся, или стационарным, называется движение, при котором в каждой точке пространства, занятого средой, все ее характеристики не меняются со временем. При эйлеровом описании все параметры среды в этом случае не зависят явно от времени t . При установившемся движении линии тока не зависят от момента времени и совпадают с траекториями частиц.

§ 4. Тензоры деформаций.

Рассмотрим два произвольных положения деформируемого тела и, в частности, его частиц M и M´ с координатами и в начальный момент времени и координатами

и соответственно в момент времени t.

Векторы базиса декартовой системы отсчета наблюдателя обозначим через , а векторы базиса сопутствующей системы координат в момент времени t обозначим через , тогда в начальный момент времени малый элемент сплошной среды M M´, называемый еще волокном , определяется вектором , а его начальная длина будет удовлетворять соотношению:

Важно отметить, что любой бесконечно малый материальный отрезок прямой (волокно), выходящий из частицы М, в процессе движения сплошной среды переходит в малый материальный отрезок прямой (любое волокно в процессе деформирования состоит из одних и тех же частиц). В текущий момент времени t то же волокно M M´ определяется вектором (1.4.1),

а его длина dl будет удовлетворять соотношению:

(1.4.2)

Мы хотим ввести в рассмотрение характеристики изменения расстояний между частицами. Назовем коэффициентом относительного удлинения или относительной деформацией отношение

Коэффициент зависит от частицы М и направления элемента -волокна, для которого он вычисляется, и не зависит от длины . Если в каждой частице деформируемой среды и в каждом направлении бесконечно мал, то деформация называется бесконечно малой. Если имеет конечное значение, то деформация конечная. По определению для абсолютно твердого тела все коэффициенты равны нулю.

Вычислим разность квадратов длин:

(1.4.3)

Назовем Лагранжевым тензором деформаций или тензором конечных деформаций Грина тензор с компонентами:

(1.4.4)

Аналогично можно посчитать длины волокна в системе наблюдателя, тогда:

(1.4.5)

Соответственно Эйлеровым тензором деформаций или тензором конечных деформаций Альманси назовем тензор с компонентами:

(1.4.6)

Тензоры деформаций являются тензорами второго ранга (векторы и скаляры не позволяют описать деформированное состояние сжимаемой среды) и служат основными характеристиками возникающих в телах деформаций, а их компоненты входят в основные уравнения, описывающие движение сплошной среды. Ясно, что в интересующий нас момент t величины деформации зависят не только от состояния тела, но и от того, по отношению к какому состоянию эти деформации вычисляются. Выбор этого начального состояния должен быть определен из конкретных физических соображений.