Динамика сплошной среды.

Терминология. Однородной называется среда, имеющая одина­ковые свойства во всех частицах. Материал будет изотропным, по отношению к некоторому свойству, если это свойство в частице ока­зывается одинаковым по всем направлениям. Ма­териал является анизотропным по отношению к тем свойствам, которые зависят от направления.

В системе координат свой – чужой силы как мера механического воздействия или взаимодействия могут быть классифицированы как внешние и внутренние. Внешние силы обусловлены взаимодействием с внешними по отношению к рассматриваемой системе объектами. Внешние силы, действующие на выделенный объем сплошной среды, можно в свою очередь разделить на две категории. Силы, распределенные по всему объему сплошной среды, называются объемными или массовыми. Обычно они характеризуются своей плотностью распределения, которая определяется как предел отношения , где - сила, действующая на выделенную массу сплошной среды. Примером таких сил могут слу­жить силы гравитации и инерции. Отметим, что массовая плотность имеет размерность ускорения. Можно ввести объемную плотность сил , гдеΔV объем сплошной среды. Очевидно, что если ввести плотность сплошной среды , то массовая и объемная плотность будут связаны соотношениями . Очень важную роль в механике сплошной среды играют поверхностные силы, распределенные по поверхности объема сплошной среды. Они также характеризуются своей поверхностной плотностью , где - сила, действующая на элементΔS поверхности сплошной среды. В механике сплошной среды часто пренебрегают внутренними объемными силами, считая, что взаимодействие происходит только между частицами, близкими друг к другу, то есть действие одной части сплошной среды на другую происходит на поверхности, их разделяющей. Силы контактного взаимодействия между телами относятся к типу поверхностных сил.

§ 1. Принцип напряжения Коши. Вектор напряжения.

Рисунок 1.1 Рисунок 1.2

На рис 1.1 изображена область пространства, занятая ма­териальным континуумом, на который действуют поверхностные силы , и массовые силы . Из-за того, что действие сил переда­ется от одной части среды другой, материал внутри произвольно­го объемаV,ограниченного поверхностьюS, взаимодействует с материалом вне этого объема. Возьмем в качестве единичного вектора внешней нормали в точкеРк малой площадке поверх­ностиΔSи обозначим через компоненты результирующей силы, действую­щей через площадкуΔSна материал внутриV со стороны внешней среды. Ясно, что элементарная сила зависит от выбораΔSи от . Следует заметить, что распределение силы наΔSне обя­зательно однородно. В общем случае это распределение эквивалентно одной силе и моменту, приложенным в точкеРи представленным на рис. 1.1 векторами с компонентами и . Средняя сила, отнесенная к единице площади площадкиΔS, задается величиной . Принцип напряжения Коши утвер­ждает, что это отношение стремится к определенному пределу , когда ΔSстягивается в точкуР, в то время как момент силы , относительно точки Р в пределе стремится к нулю. Результирующий вектор с компонентами (сила, отнесенная к единице площади), называется вектором напряжения (рис.1.2). Если бы момент в точкеРпри предельном переходе не обращался в нуль, то в этой точке был бы также определен вектор момента (пары) напряжений, изображенный на рис. 1.2 стрелкой с двойным острием. В некоторых задачах приходится учитывать такие поверхностные пары, но мы их рассматривать не будем.

Вектор напряжения определяется следующим образом:

, а обозначение используется для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что вектор напряжения в данной точкеР сплошной среды, очевидно, зависит от ориентации выбранного элемента поверхностиΔS, которая задается единичным вектором нормали . Если взять любой иначе ориентированный элемент поверхности с другой единичной нормалью, то связанный с ним вектор напряжения в точкеРтоже будет другим. Вектор напряжения, выражающий действие через площадкуΔSв точкеРматериала, расположенного внутриV, на внешнюю среду, есть вектор . Тогда по закону Ньютона о равенстве действия и противодействия .

§ 2. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений.

Величины образуют компоненты тензора второго ранга - тензора напряжений. Компоненты , соответствующие перпендикулярным к указанным площадкам силам, называются нормальны­ми напряжениями. Компоненты , действующие в касательных плоскостях, называются касательными напряжени­ями (или напряжениями сдвига). Компонента напряжения положи­тельна, если на площадке, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направлением одной из осей координат, сила действует вдоль положительного направления этой оси. Компонента задает силу, действующую в направлении j-ой оси координат на площадку с внешней нормалью, параллельной i-ой оси координат.

В тензорном виде равенство (2.2.6) можно записать в виде скалярного произведения вектора нормали на тензор напряжений :

.