Формула Ньютона-Лейбница.
Имеем:
, где Φ(х) – первообразная для функции ƒ(х).
Пусть F(x) - другая первообразная этой функции, тогда
Φ(х) = F(x) + C,
F(x) +C,
предположим, в этом равенстве x=a,
получим:
F(a) + C; но 0,
тогда F(a) + C = 0, т.е. С = –F(a);
подставим в исходное значение
F(x) – F(a), предположим х=b, тогда
F(b) – F(a), заменим t на х
F(b) – F(a) = F(x) | ;
Пример: arctg(x) | = arctg1 – arctg(-1) = 2arctg1 = 2π/4 = π/2.
Пример2:
Дано: ex , 0≤x≤1,
ƒ(х) = 3-x, 1<x≤3,
построим график функции: y
2.7
1 3 х
= e –1 + 2 = e+1.
Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], а значит существует
F(b) – F(a), где F(x) первообразная для функции ƒ(х) и пусть х = φ(t), где t [α,β].
Теорема: Если:
1) φ(α) = а, φ(β) = b.
2) функции φ(t) и φ'(t) непрерывны на отрезке [α,β]
3) функция ƒ(φ(t)) непрерывна на отрезке [α,β],
то .
Доказательство.
В параграфе о замене переменной в неопределенном интеграле было доказано, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции ƒ(φ(t))· φ'(t), поэтому
= F (φ(t)) = F(φ(β)) – F(φ(α)) = F(b) – F(a) = ,
что и требовалось доказать.
Пример: Вычислить интеграл:
= | x = sin(t), = cos(t), dx = cos(t)dt, при х=0, t=0; при х=1, t = π/2 | =
= = = = +0 – 0 = .
Пример2:
= π;
= | tg(x) = t, x = arctg(t) ; dx = ; sin2x = ; cos2x = ;
при х=0 , t = 0; при х = π, t = 0; | = = 0, - это не верно, так как в точке х = π/2, тангенс терпит разрыв.
Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 580;