Условие существования определенного интеграла.
Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.
Замечание: Геометрический смысл интеграла есть площадь криволинейной трапеции.
Sкр.тр.= .
Свойства определенного интеграла.
1. . y
1
a b x
2. = .
3. Рассмотрим: интеграл выносится за знак интеграла.
= k .
Доказательство.
= = k = k ;
4. = + .
Доказательство.
=| по определению| = = = = + = = + .
5. Если [a,b] точкой c делится на 2 отрезок [a,c] и [c,b], то
= + .
Доказательство.
Рассмотрим 1 случай: с между а и b.
Так как определенный интеграл – предел последовательности
| | | | | | | | | | интеграла суммы, не зависящего от способа
a c b разбиения отрезка на части , то разобьем отрезок на части так, чтобы точка с совпала с точкой разбиения.
Тогда = + .
Перейдем в этом равенстве к пределу при х→0, получим:
= + ;
= + .
2 случай: Пусть с лежит вне отрезка [a,b] a b c
Тогда по показанному в 1случае, | | |
= + ;
Но = – ;
Тогда = - ;
Отсюда: = + .
6. Если на отрезке [a,b] ƒ(x)≥0 , то ≥0.
Доказательство.
По условию ƒ(ζi)≥0 , Δxi = xi – xi-1 >0;
Тогда
, таким образом, ≥0.
7. Если на отрезке [a,b] ƒ1(х)≥ ƒ2(х), то ≥ .
8. ≤ ;
Доказательство.
Известно, что – ≤ ƒ(х)≤ .
По свойству 7
– ≤ ≤ , по свойству абсолютной величины
≤ ;
9. Если функция y = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], то
m(b-a) ≤ ≤ M(b-a)
Оценка интеграла.
Доказательство.
Так как функция ƒ(х) непрерывна на [a,b], то по свойству непрерывной на отрезке функции, она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наибольшего значения M.
Тогда m≤ ƒ(х) ≤ M
По свойству 7: ≤ ≤ ;
По свойству 3: m ≤ ≤ M ;
По свойству 1: m(b-a) ≤ ≤ M(b-a);
Геометрический смысл свойства 9: SM(b-a)
m
Sm(b-a)
a b
Теорема о среднем.
Если функция непрерывна на [a,b], то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка ζ, в которой имеет место равенство:
= ƒ(ζ) или
= (b – a) ƒ(ζ);
Доказательство.
Так как функция непрерывна на отрезке по свойству 9 имеем:
m(b-a) ≤ ≤ M(b-a);
разделим на (b-a):
m ≤ ≤ M;
обозначим через μ, тогда:
m ≤ μ ≤ M;
Так как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по свойству функции, непрерывной на отрезке, она принимает любое значение, по крайней мере в одной точке, данного между m и M.
Значит, найдется такая точка ζ [a, b], в которой функция принимает значение равное μ.
т.е. ƒ(ζ) = μ;
Таким образом = ƒ(ζ);
Геометрический смысл: ƒ(х)
a ζ b
= ƒ (ζ)(b-a) ;
Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием b-a и высотой, равной значению функции в некоторой «средней» точке ζ.
Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 761;