Несобственные интегралы.
Несобственными интегралами называют:
1) интегралы с бесконечно верхними или нижними пределами интегрирования.
2) Интегралы от неограниченных функций на отрезке [a,b] или интегралы от разрывных функций на отрезке [a,b].
Рассмотрим 1):
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на [a, +∞). Если существует , то он называется несобственным интеграломс бесконечным верхним пределом и обозначается .
y y =ƒ(х)
0 a x
Итак, по определению:
= , если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся.
Аналогично
= , если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся,в противном случае расходящимся.
Интеграл вида: = |по свойству 5 определенного интеграла| = +
+ = + - интеграл сходится.
Пример: Вычислить ;
Тогда, ƒ(х) = ;
y
1
01x
= + = + = +
+ = (0 – arctg(a)) + (arctg(b) – 0) = -(- ) + = + = π.
Рассмотрим 2): несобственные интегралы от разрывных функций.
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,c).
Если существует , то y
он называется несобственным интегралом
от неограниченной функции в точке с и
обозначается .
a c-ε c x
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке (c,b].
y = .
c c+δ b x
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], кроме точки c, a<c<b, тогда
= + = + .
y Если оба эти предела существуют, то несобственный
интеграл называется сходящимся, а если один из
пределов не существует, то расходящимся.
a c b x
Пример: ;
х = 0 - точка разрыва; ƒ(х) = ;
y
0-ε 0+δ
-1 0 1 x
= + = + = + =
= + = ∞ + ∞ = ∞, значит интеграл расходится.
Раздел III.
Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 614;