Интеграл с переменным верхним пределом.

Функция y = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a,b], х [a, b];

Рассмотрим интеграл - интеграл зависит от х, т.е. является функцией от х.

y

y = ƒ(х)

ΔΦ

x+Δx

0 a x ζ b x

Обозначим интеграл Φ(х). Переменную интегрируемую обозначаем через t, чтобы не спутать с верхним пределом х.

Теорема: Производная от интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции по верхнему пределу равна подынтегральной функции, с заменой переменной, интегрируемая на верхней предел, т.е.

= ƒ(х);

Доказательство.

Дадим х приращение Δх, тогда Φ(х), получим приращение ΔΦ=Φ(х+ Δх) - Φ(х) =

= – = | по свойству 4| = + – = { по теореме о среднем} = ƒ (ζ)(x + Δх –x) = ƒ(ζ)Δх.

Итак, получили, что ΔΦ = ƒ(ζ)Δх.

Разделим обе части на Δх, получим:

= ƒ(ζ), где ζ лежит между х и х + Δх.

Перейдем к пределу.

( ) = ƒ(ζ); х ζ х+Δх

при Δх→0 (х+ Δх) →х, а ζ →х;

( ) = ƒ(х). Но этот предел есть производная от Φ'(х)

Φ'(х) = ƒ(х);

= ƒ(х);

Замечание1 из доказательства видно, что функция Φ(х) является первообразной для функции ƒ(х), а значит попутно доказали теорему.

Замечание2:

Если функция непрерывна на [a,b] , то на этом отрезке существует первообразная функции.

Интеграл с переменным верхним пределом и неопределенный интеграл связаны следующим соотношением:

.