Вычисление определенного интеграла

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Обозначим . Производная функции по переменному верхнему пределу х имеет вид:

.

Аналогичная формула справедлива и для случая переменного нижнего предела.

Теорема. Для всякой функции , непрерывной на отрезке , существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема. (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция – произвольная первообразная от непрерывной функции , то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство. Пусть – произвольная первообразная функции на отрезке . Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция также

является первообразной для функции на этом отрезке. Так как любые две первообразные непрерывной функции могут отличаться только на постоянную, то

или .

При соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при :

.

Тогда . А при : .

Заменив переменную на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

.

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

4. Замена переменных в определённом интеграле

Пусть дан интеграл , где – непрерывная функция на отрезке .

Введем новую переменную в соответствии с формулой . Тогда если

1) ,

2) функции и непрерывны на отрезке

3) функция определена на отрезке , то

.

Тогда

Пример.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

,

т. е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке ). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

5. Интегрирование по частям определённого интеграла

Если функции и непрерывны на отрезке вместе со своими производными, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше.