Лекция 12.КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Криволинейной трапецией называется геометрическая фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции y = f (x), отрезками прямых x = a и x = b и отрезком [a; b] оси OX.

Разобьем отрезок [a; b] на n‒ отрезков точками . На каждом отрезке выбираем точку (кси),

Построим прямоугольники с основанием: и высотой

f( ), тогда Сумма называется интегральной суммой.

При Получим:

Рис. 1

Определенный интеграл, как предел интегральной суммы.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Определенным интегралом от функции f (x) на промежутке [a; b] называется предел интегральной суммы(1).

Геометрический смысл.

Определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции

f (x) на промежутке [a; b] численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции:

Геометрические приложения определенного интеграла.

1. Вычисление S фигуры.

1) Если геометрическая фигура ограничена графиками двух непрерывных неотрицательных функций и .

2) Если геометрическая фигура ограничена графиком

3) Если

Пример.

Решение:

(3; 5), (6; 8) ‒ точки пересечения линии.

Второй способ:

(5; 9) ‒ вершина параболы.