Оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенного признака.

1. Для оценки математического ожидания М (Х) = а нормально распределенного признака по выборочной средней и известному среднему квадратическому отклонению служит следующий доверительный интервал:

где значение аргумента интегральной функции Лапласа (в таблице № 2).

2. При исправленном среднем квадратическом отклонении S получим:

где значения в таблице № 3.

3. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения при большом числе измерений имеет вид:

при

при

где значения в таблице № 4.

Пример 1.

Задана выборка значений признака X, имеющего нормальное распределение:

	‒2

Найти: а) выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение s; б) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожиданиеа признака X; в) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,95 среднее квадратическое отклонение признака X.

Решение:

а) Вычисляем объем выборки: .

Тогда

б) Искомый доверительный интервал для математического ожиданияа имеет вид:

где находим по таблице приложения 2. При = 0,95 n = 10 получаем = 2,26. Тогда

Таким образом,

в) Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклоненияа имеет вид:

если

если

Соответствующие значения q указаны в таблице приложения 3. По заданным = 0,95 и n = 10 находим q = 0,65. Теперь искомый доверительный интервал запишется следующим образом:

или