Показательный (экспоненциальный закон распределения).

Случайная величина Х распределена по показательному закону распределения с параметром λ, если её плотность вероятности имеет вид:

Функция распределения имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия для случайной величины, распределенной по показательному закону, находятся по формулам:

,

То есть при

Пример.

Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону.

Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Решение:

По условию математическое ожидание M(х)=1/λ = 15, откуда параметр λ = 1/15. Тогда плотность вероятности и функция распределения примут вид:

(х ≥0)

Искомую вероятность P(Х ≥20) можно было найти по формуле, интегрируя плотность вероятности, то есть

но проще это сделать, используя функцию распределения:

Найдем среднее квадратическое отклонение: σ(X) = М(Х) = 15 дней.