Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.
1. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде
Для этой модели справедлив экспериментально установленный линейный закон фильтрации Дарси
, | (2.30) |
Или в проекциях на оси декартовой системы координат
, |
где называется коэффициентом проницаемости, или просто проницаемостью.
Проницаемость имеет размерность площади. Она не зависит от свойств жидкости, является чисто геометрической характеристикой пористой среды.
В практике принято проницаемость измерять в мкм2. Среда имеет проницаемость 1 мкм2 если при градиенте давления 10 МПа/м через площадку 10-4 м2 расход жидкости, вязкость которой 10-3 Па.с, составляет 10-6 м3/с, т. е. 1мкм2 = 10-12 м2.
Проницаемость определяется геометрией порового пространства. Известно множество попыток установить аналитическую зависимость между проницаемостью, пористостью, размером, формой и упаковкой частиц.
Для фиктивного грунта Слихтер нашел, что теоретическая проницаемость
, |
а Козени получил
. |
Эти формулы полезны при изучении закономерностей фильтрации только в искусственных пористых телах. Для реальных тел достоверные результаты можно получить лишь по данным измерений расхода и перепада давления в лабораторных условиях на керновом материале или при натуральных испытаниях пластов с последующей интерпретацией полученных результатов.
Закон фильтрации (2.30) – это упрощенная форма уравнений движения
, |
неразрывности движения или сохранения массы
, |
и механического состояния
, |
в которых отброшены силы инерции , а сумма сил заменена силами трения Ньютона . Тогда отпадает надобность в уравнениях состояния (2.24).
Имеем симметричный девиатор напряжений
Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от , т. е.
(2.31) |
где , и – соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении ; и – соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что .
К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного , заполнения элементарного объема сплошной среды принимает вид
. | (2.32) |
Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций , , и . Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины и много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное
классическое уравнение теории фильтрации:
, | (2.33) |
где – коэффициент пьезопроводности среды; – приведенный модуль объемной упругости среды; – оператор Лапласа. Пьезопроводность имеет размерность м2/с.
Если , то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При имеем уравнение Лапласа
, | (2.34) |
которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при , т. е. при установившемся режиме фильтрации.
Для однозначного определения поля давления в заданной области , ограниченной поверхностью , необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при )
при | (2.35) |
и при граничным условиям:
если на поверхности (или ее части) задано давление , то
при , | (2.36) |
если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то
, | (2.37) |
если поверхность покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то
, | (2.38) |
где – характерный линейный размер; – коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».
Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.
2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды.
Проницаемость зависит от направления - имеет место обобщенный закон Дарси
, | (2.39) |
где – тензор проницаемости.
Если воспользоваться системой координат, оси которой совпадают с главными осями тензора , то уравнение (2.39) в проекциях на оси декартовой системы координат перепишется в виде
, | (2.40) |
где – проницаемости вдоль главных осей анизотропии. При этом проекция скорости фильтрации на нормаль к элементарной площадке вычисляется по формуле
. | (2.41) |
Подставляя (2.40) в (2.32) получим уравнение при установившейся фильтрации
. | (2.42) |
Учитывая (2.41), усложняются и граничные условия вида (2.37) и (2.38).
Однако граничную задачу, связанную с уравнением (2.42), легко свести к граничной задаче, связанной с уравнением Лапласа (2.34), если вести следующую замену переменных:
для пространства
для плоскости
(2.43) |
где – новые координаты.
Это означает геометрическое преобразование анизотропной области в некоторую изотропную область , проницаемость которой
(2.44) |
При этом граница области преобразуется в границу области . Например, область, ограниченная окружностью
, | (2.45) |
преобразуется согласно (2.42) в область, ограниченную эллипсом
. | (2.46) |
или в параметрическом виде
. |
где , - полуоси элипса
Для области имеем уравнение Лапласа
, |
решение которого должно удовлетворять заданному граничному условию на окружности (2.45) для соответствующих точек эллипса (2.46).
3.Закономерности фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах для однородной и изотропной среды.
Горная порода рассматривается как сплошная, в любой точке которой имеют место двойная пористость , проницаемость , скорость фильтрации и давление , связанные законом Дарси
(2.47) |
и уравнениями неразрывности
(2.48) |
где индексами 1 и 2 обозначены величины, характеризующие соответственно систему трещин и пор;
. | (2.49) |
– интенсивность перетока жидкости между этими системами; – новая безразмерная величина, характеризующая данную среду.
При этом пористости и являются функциями обоих давлений, т.е.
. | (2.50) |
Однако во многих случаях систему уравнений (2.47) – (2.48) можно упростить, если исходить из следующих условий:
а) объем, занимаемый трещинами, много меньше объема пор, т.е. допустимо принять ;
б) изменение пористости происходит в основном за счет изменения порового давления и поэтому при небольших изменениях этого давления
; | (2.51) |
в) проницаемость , т.е. фильтрацией в порах можно пренебречь ;
г) жидкость слабосжимаема так что
, | (2.52) |
где или в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в порах;
д) вязкость жидкости .
Физическая сущность перечисленных допущений состоит в том, что в системе трещины – поры рассматривается фильтрация жидкости по трещинам в условиях интенсивного массобмена с жидкостью, находящейся в упругом деформированном поровом пространстве.
В результате принятых упрощений уравнения (2.48) примут вид
. |
Подставляя сюда соотношения (2.47), (2.49), (2.51), (2.52) и отбрасывая малые величины высших порядков, получим
, | (2.53) |
где – специфическая характеристика трещиновато-пористой среды; – своеобразная пьезопроводность среды.
Параметр имеет размерность площади, и для реальных пород его порядок может изменяться в широких пределах – от 10-1 до 106 м2.
Легко заметить, что путем исключения одного из давлений система уравнений (2.53) сводится к одному уравнению
, | (2.54) |
где – параметр, называемый временем запаздывания.
Это уравнение отличается от классического уравнения (2.33) слагаемым, содержащим параметр . В пределе, когда , среда с двойной пористостью переходит в чисто пористую и уравнения (2.54) и (2.33) совпадают.
При жестком режиме фильтрации или при установившейся фильтрации уравнение (2.54) обращается в уравнение Лапласа (2.34).
Следовательно, ставить задачу о фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде имеет смысл при .
Начальное и граничные условия, которые необходимо присоединить к уравнению (2.54), обладают некоторой особенностью. Прежде всего ясно, что граничную задачу, связанную с уравнением (2.54) следует рассматривать относительно одного из давлений – или .
Если начальные условия и удовлетворяют первому уравнению (2.53), то задачу целесообразно решать относительно давления , принимая начальные и граничные условия в виде выражений (2.35) – (2.38). После определения давления вычисляют поровое давление .
В противном случае задачу следует решать относительно давления . Но здесь имеет место определенная специфика в задании граничных условий.
Если начальное распределение давления согласовано с граничными условиями вида
, | (2.55) |
при , то в таком виде граничная задача и рассматривается.
Но если же согласования нет, то к правым частям соответствующих граничных условий необходимо прибавить слагаемое , где – невязка существующего граничного условия:
(2.56) |
Это свидетельствует о том, что заданный скачок граничных условий в порах трещиновато-пористой среды не уничтожается мгновенно, как в обычной пористой среде, а убывает по закону . Такое качественное отличие – результат принятого упрощения пренебрежения фильтрацией жидкости в порах, где давление изменяется только благодаря массообмену с жидкостью в трещинах. Аналогично, предположение о жестком характере фильтрации жидкости в трещинах приводит к указанной выше проверке начальных распределений давлений и .
После решения граничной задачи относительно порового давления распределение давления в трещинах определяется по формуле (2.53)
а скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле
(2.55)
4. Приизучении фильтрации газа основное значение имеет его высокая сжимаемость, которая на несколько порядков выше сжимаемости пористой среды.
Поэтому в уравнении неразрывности (2.32) пренебрегают изменением пористости во времени и представляют это уравнение в виде
. | (2.57) |
К этому уравнению необходимо присоединить уравнение состояния газа
и закон фильтрации, который при небольшой скорости фильтрации имеет вид закона Дарси
(2.58) |
где в общем случае ; - температура.
В простейшем случае газ можно считать термодинамически идеальным, находящемся при постоянной температуре с вязкостью µ=const и плотностью
, | (2.59) |
где - постоянные величины.
Подстановка (2.58) и (2.59) в (2.57) дает основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа
, | (2.60) |
которое впервые было получено Л. С. Лейбензоном в 1930г.
Наиболее известный приближенный метод решения этого уравнения основан на линеаризации, по Л. С. Лейбензону, который состоит в том, что левую часть уравнения умножают на , а правую – на некоторое характерное давление , например давление в невозмущенной части пласта.
Тогда вместо (2.60) необходимо решить линейное уравнение
, | (2.61) |
которое аналогично уравнению (2.33), где . Следовательно, все соотношения, полученные до сих пор для жидкости, могут быть в первом приближении использованы и при изучении фильтрации газа, если заменить в них на , на .
5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между и принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.
Рис. 11.Возможные виды нелинейного закона фильтрации
Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:
а) высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);
б) ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);
в) малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).
Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации
, | (2.62) |
а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом
(2.63) |
где, по данным Е. М. Минского, , а, по данным Б. И. Султанова, ; - эффективный диаметр пор; - предельное напряжение сдвига.
В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации
, | (2.64) |
, | (2.65) |
которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь - параметры модели; - характерное значение градиента давления;
Лекция 4. 5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между и принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.
Рис. 11.Возможные виды нелинейного закона фильтрации
Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:
г) высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);
д) ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);
е) малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).
Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации
, | (2.62) |
а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом
(2.63) |
где, по данным Е. М. Минского, , а, по данным Б. И. Султанова, ; - эффективный диаметр пор; - предельное напряжение сдвига.
В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации
, | (2.64) |
, | (2.65) |
которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь - параметры модели; - характерное значение градиента давления; - безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).
Дата добавления: 2015-12-11; просмотров: 1109;