ЗАДАЧИ ГИДРОМЕХАНИКИ В БУРЕНИИ
§ 1. БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ ГИДРОДИНАМИКИ ПРИ ПРОМЫВКЕ И ЦЕМЕНТИРОВАНИИ СКВАЖИН
Основные задачи гидродинамики в бурении основаны на общих уравнениях и задачах гидромеханики, в первую очередь на уравнениях состояния идеальных и реальных жидкостей, которыми чаще всего пользуются при расчетах.
При промывке и цементировании скважин простейшими типовыми задачами гидромеханики, допускающими аналитическое решение, являются задачи о течении жидкости в плоской щели (между двумя параллельными бесконечными пластинками), в круглой трубе и в кольцевом пространстве между двумя соосными цилиндрами, если исходить из следующих условий:
1) жидкость несжимаемая (ρ=соnst);
2) течение установившееся 
;
3) все частицы жидкости движутся параллельно твердым стенкам канала, т. е. при совмещении координатной оси Оz с направлением течения, отличной от нуля будет лишь одна составляющая vz cкорости 
;
4) концевые эффекты пренебрежимо малы, т. е. картина течения в любом сечении, нормальному к потоку, идентична 
, что справедливо для сечений, удаленных от концов канала на расстояние равное 0,035 dRe, где d – характерный размер поперечного сечения: для щели – расстояние между плоскостями; для труб – ее диаметр; для кольцевого пространства – удвоенный зазор;
5) вдоль потока действует постоянный градиент давления 
равный – Δp/L, где Δp>0 – полный перепад давления между сечениями, находящимися на расстоянии L друг от друга;
6) на жидкость действует объемная сила 
обусловленная только силой тяжести, где принимают знак (+), если жидкость движется вниз, и знак (-) – вверх, когда положительное направление оси Оz совпадает с направлением движения.
Если, кроме того, учесть, что скорости частиц жидкости в рассматриваемых каналах симметричны относительно плоскости yz – для щели и относительно оси Оz – для круглой трубы и кольцевого пространства, то vz = v(x) и vz = v(r) соответственно.
Поэтому, согласно соотношениям Коши (15) и уравнениям состояния (14) при течении жидкости в щели, отличными от нуля будут лишь одна скорость деформации и одно напряжение сдвига:
(3.1)
Аналогично для течения в трубе и в кольцевом пространстве:
(3.2)
Система дифференциальных уравнений (11) — (14) существенно упрощается: первые два уравнения движения и уравнение неразрывности удовлетворяются тождественно, а третье уравнение системы (14) принимает вид —
при течении в плоской щели
при течении в трубе и кольцевом пространстве
где 
— гидродинамические потери давления, обусловленные только движением жидкости независимо от направления течения.
Интегрируя эти уравнения при условиях σxz = 0 при х = 0 для щели и σrz = 0 при r = 0 для круглой трубы, получим соответственно
(3.3)
(3.4)
где постоянная интегрирования 
только при течении жидкости в кольцевом пространстве.
Следует напомнить, что соотношения (3.1) — (3.4) справедливы при ламинарном течении любой (ньютоновской и неньютоновской) жидкости. Сохраняются они и при турбулентном течении, если под величинами 
понимать усредненные по времени значения 
.
Ниже приводятся аналитические решений граничных задач жидкости в щели и в кольцевом пространстве в зависимости от характера течения и реологических свойств жидкости. Решения для круглой трубы получаются простым предельным переходом из решений для кольцевого пространства.
Определяются также основные интегральные гидродинамические характеристики потока:
объемный расход
средняя скорость
(3.5)
коэффициент сопротивления
где 
- соответственно площади поперечного сечения и боковой смоченной поверхности канала; f = τ/W – коэффициент трения Финнинга; 
- касательное напряжение у поверхности канала; 
- кинетическая энергия единицы объема жидкости.
Определение объемного расхода Q по заданному перепаду давления ΔР обычно называют прямой задачей гидродинамики, а определение перепада давления ΔР по заданному расходу Q – обратной задачей.
В этом отношении все приведенные ниже результаты относятся к решениям прямой граничной задачи, а полученные зависимости пользуются для вычисления гидравлических потерь. Для этой цели определяющим является закон сопротивления, т. е. зависимость коэффициента λ от характеристик течения.
Установление экспериментального закона сопротивления – задача практической гидродинамики (гидравлики), где приведенные ниже аналитические зависимости основополагающи.
Если λ не зависит от ΔР, то из третьей формулы (22) следует известный закон Дарси-Вейсбаха, широко используемый для вычисления гидравлических потерь в цилиндрических каналах при турбулентном режиме течения:
§ 2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
1. При ламинарном течении ньютоновской жидкости, согласно соотношениям (3.1), сохраняется только одно из уравнений состояния (2.24), а именно
(3.6)
Из сравнения этого уравнения с решением (3.3) следует дифференциальное уравнение относительно скорости
решение которого при граничном условии v(h) = 0 имеет вид
(3.7)
где 2h - ширина щели.
В результате по формулам (3.5) легко определяются основные характеристики потока:
(3.8)
где b - длина поперечного сечения щели; Rеш = р vср2h/μ – параметр Рейнольдса для плоской щели.
2. При ламинарном сечении неньютоновской жидкости Шведова –Бингама, используя соотношения (3.1) в формулах (2.26) и (2.27), получим
(3.9)
где выбран знак (-), так как 
. Поэтому система уравнений (2.24) упрощается до одного уравнения
(3.10)
где 2h0 – жесткое ядро потока (рис. 22).
Рис. 22. Характерный вид профиля скорости в щели при течении неньютоновской жидкости Шведова – Бингама.
Из сравнения соотношений (3.3) и (3.10), получим уравнение скорости
(3.11)
и формулу для вычисления ядра потока
(3.12)
Интегрируя уравнения (3.11) при условии v(h) = 0,найдем следующее распределение скорости:
(3.13)
Отсюда следует, что при h0 = h движение жидкости происходить не будет, так как v(x) = 0. Поэтому условием существования движения является h0 < h или, используя формулу (3.12), 
Однако если учесть, что начало движения рассматриваемой жидкости обусловлено не динамическим напряжением сдвига τ0, а статическим τ00> τ0 , то условием страгивания покоящейся жидкости будет 
По формулам (3.5) определяются основные характеристики потока, впервые полученные М. П. Воларовичем и А. М. Гуткиным:
(3.14)
где 
Видно, что в данном случае кинематические характеристики потока Q, vcp и коэффициент сопротивления λ зависят от градиента давления нелинейно, что вызывает известные трудности при решении обратной задачи.
Если исходить из того, что практический интерес представляют случаи 
то, приняв 
получим
(3.15)
где 
- обобщенный параметр Рейнольдса; 
приведенная вязкость жидкости Шведова-Бингама;
- параметр Сен-Венана для плоской щели.
3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последней системе уравнений (2.24) соотношения (3.1) и (3.9), получим
При сопоставлении этого уравнения состояния с (3.3) приходим к относительно скорости:
(3.16)
Интегрируя это уравнение при граничном условии v(h) = 0, получим распределение скорости
(3.17)
где 
В результате интегральные характеристики потока (3.5) будут
(3.18)
где 
- обобщенный параметр Рейнольдса и 
— приведенная вязкость жидкости Освальда-Вейля для плоской щели. При
n =1 и k = μ формулы (3.17) — (3.18) совпадут с формулами (3.7) —(3.8).
4. При турбулентном режиме течения, когда параметры Rе, Re* или Rе' больше критических значений, решение уравнения движения записывается в виде [сравните с (3.3)]
(3.19)
Касательное напряжение 
в зависимости от типа жидкости связано со скоростью сдвига 
уравнениями вида (3.6), (3.10) или (3.16). Напряжение Рейнольдса 
в силу соотношений (2.20), (3.1) и (3.9) удовлетворяет уравнению Прандтля:
(3.20)
где принимается, что величина l линейно зависит от расстояния до стенки канала s = h - x, т. е.
s, (3.21)
где 
— константа, определяемая из опыта.
Напряжение имеет существенное значение лишь в непосредственной близости от стенок канала, т. е. в узкой области, состоящей из ламинарного подслоя и буферной зоны, где ламинарные и турбулентные законы течения сравнимы между собой.
В основной области течения (турбулентное ядро) можно пренебречь напряжением . Поэтому после подстановки (3.20) и (3.21) в (3.19) получим следующее исходное дифференциальное уравнение:
(3.22)
где 
- приведенное значение касательного напряжения; s1—внешняя граница буферной зоны.
Прандтль ввел в уравнение (3.22) упрощение (физически, вообще говоря, ничем не обоснованное), положив правую часть уравнения равной 
. Но доказывается, что это упрощение вносит в конечный результат весьма небольшую погрешность.
Если, кроме того, ввести обозначение для динамической скорости на стенке канала 
, то уравнение (3.22) примет вид
Интегрируя это уравнение при условии 
, получим следующий универсальный закон распределения скорости:
(3.23)
В области, близкой к стенке канала ( 
), профиль скорости отклоняется от распределения (3.23). Однако, учитывая, что отношение 
, можно в гидродинамических расчетах не принимать во внимание профиль скорости в пристенной области.
Многочисленные экспериментальные исследования показали, что логарифмическое распределение (3.23) достаточно хорошо описывает профили скоростей при турбулентных течениях различных жидкостей в плоских и круглых каналах с гладкими и шероховатыми стенками вплоть до больших значений параметра Рейнольдса (за исключением, разумеется, узких пристенных областей). Различия могут составлять лишь входящие в (3.23) параметры.
Тогда для практически гладких и вполне шероховатых каналов формула (3.23) переписывается в виде
(3.24)
При s = h - получим максимальные значения скоростей
(3.25)
С учетом (3.25) формулы (3.24) можно записать так:
(3.26)
Отсюда путем интегрирования легко получить среднюю по сечению скорость потока
(3.27)
Найдем коэффициент сопротивления по формуле (3.8):
Если здесь воспользоваться формулами (3.27), (3.25) и преобразованием
то получим универсальный закон сопротивления:
для гладкого канала:
(3.28)
для вполне шероховатого канала
(3.29)
Из формул (3.28) и (3.29) следует вывод: для гладких стенок коэффициент сопротивления λ зависит только от параметров Рейнольдса, а для вполне шероховатых — от отношения s0/h.
При переходном режиме, т. е. когда выполняется условие 
, коэффициент сопротивления зависит от Rе и s0/h.
Способ его определения в этом случае, основанный на экспериментальных данных. В практических расчетах обычно в формулах (3.24) и (3.25) константу 8,5 заменяют на 9 и соответственно в формуле (3.29) — константу 2,12 на 2,3. Эти константы для каналов с естественной шероховатостью устанавливаются опытным путем.
Примечание. Все приведенные в этом параграфе формулы могут быть использованы и при расчете характеристик течения жидкостей по наклонной плоскости или в длинном лотке (желобе), у которого ширина b днища во много раз больше глубины потока h. Для этого необходимо принять 
и заменить 2b на b, где 
— угол наклона плоскости (лотка) к горизонту.
§ 3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
1. Для ньютоновской жидкости, используя соотношение (3.2) в системе уравнений (2.24), получим простейшее уравнение состояния
Из сравнения с решением (3.4) следует уравнение относительно скорости
Решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее граничным условиям 
, имеет вид
(3.30)
где 
и 
— радиусы внутреннего и внешнего цилиндров, ограничивающих кольцевой канал; 
,
(3.31)
Нетрудно убедиться в том, что максимальная скорость жидкости будет при 
, а интегральные характеристики потока
(3.32)
где 
— параметр Рейнольдса для кольцевого канала.
Легко проверить, что при 
и поэтому 
.
Сравнивая полученные результаты с формулами (3.8), можно сделать вывод, что кольцевой цилиндрический канал с отношением радиусов окружностей сечения
α> 0,3 и плоская щель с параметрами сечения 2h = R (1 - α) и b = πR (1+ α) эквивалентны между собой в отношении интегральных гидродинамических характеристик при ламинарном течении ньютоновской жидкости, т. е. величин vcp, Q, λ, ΔР. Однако эти каналы имеют и существенное различие: переход от ламинарного режима течения к турбулентному в кольцевом канале наступает быстрее, чем в плоской щели, так как 
Из формул (3.30) и (3.32) при 
вытекают известные формулы Хагена - Пуазейля, характеризующие течение жидкости в круглой трубе:
где 
— параметр Рейнольдса для трубы.
2. Для ньютоновской жидкости Шведова — Бингама, если учесть характер распределения скорости (3.30) в кольцевом зазоре 
и соотношения (3.2) в формулах (2.26) и (2.27), получим
где α1R и α2R — радиусы цилиндрических поверхностей, ограничивающих жесткое ядро потока (рис. 8). Используя также соотношения (3.2), из (2.24) получим следующее уравнение состояния:
Из сопоставления с решением (3.4) имеем следующее дифференциальное уравнение относительно скорости:
(3.33)
а также уравнения относительно параметров α1 и α2 (безразмерные радиуса ядра потока) и ω = с / R:
(3.34)
Интегрируя уравнение (3.33) при граничных условиях v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости
(3.35)
а из уравнений (3.34) следует, что
(3.36)
Если в последнем соотношении (3.36) принять α1 = α и α2 = 1, то получим условие отсутствия движения
Следовательно, течение неньютоновской жидкости Шведова — Бингама в кольцевом канале возможно при условии
Из условия сопряжения скорости при 
вытекает третье уравнение относительно искомых параметров
(3.37)
которое с помощью соотношений (3.36) сводится к трансцендентному уравнению относительно одного из параметров ω2, α1 или α2, допускающему лишь численное решение.
Рис. 23. Характерный вид профиля скорости в кольцевом канале при течении ньютоновской жидкости Шведова-Бингама.
В табл. 1 приведены значения параметров α1, α2 и ω, полученные путем численного решения уравнений (3.36) и (3.37) на ЭВМ с точностью до 1%.
Таблица 1
| ΔP0/ΔP | α | |||||||||||
| 0,45 | 0,55 | 0,65 | 0,75 | |||||||||
| α1 | α2 | ω | α1 | α2 | ω | α1 | α2 | ω | α1 | α2 | ω | |
| 0,1 | 0,68 | 0,74 | 0,71 | 0,74 | 0,79 | 0,76 | 0,8 | 0,84 | 0,82 | 0,86 | 0,89 | 0,87 |
| 0,3 | 0,63 | 0,79 | 0,7 | 0,7 | 0,83 | 0,76 | 0,77 | 0,87 | 0,82 | 0,84 | 0,91 | 0,87 |
| 0,5 | 0,57 | 0,85 | 0,69 | 0,65 | 0,88 | 0,76 | 0,73 | 0,91 | 0,81 | 0,81 | 0,94 | 0,87 |
| 0,7 | 0,52 | 0,91 | 0,69 | 0,61 | 0,93 | 0,75 | 0,7 | 0,94 | 0,81 | 0,79 | 0,96 | 0,87 |
| 0,9 | 0,48 | 0,97 | 0,68 | 0,57 | 0,98 | 0,75 | 0,67 | 0,98 | 0,81 | 0,77 | 0,99 | 0,87 |
Видно, что параметр 
очень слабо зависит от отношения 
Максимальное различие между значениями ω при 
и 0,9 составляет: 3,5% — при α = 0,45; 2%— при α = 0,55; 1% — при α = 0,65. Следовательно, параметр ω можно с высокой точностью вычислить по той же формуле, что и в задаче течения ньютоновской жидкости (3.31), т. е.
Решая систему уравнений (3.36), найдем с точностью до первого порядка относительно
Из сравнения с табличными значениями α1 и α2 легко убедиться, что погрешность такого приближения не более 4% для α1, и 2% для α2.
После подстановки полученных таким образом соотношений для параметров α1, α2 и ω в (3.35), интегрирования по кольцевому сечению и пренебрежения слагаемыми, содержащими величину 
в 3-й и 4-й степенях, получим следующий результат:
(3.38)
или 
при α > 0,3,
где 
— обобщенный параметр Рейнольдса: 
— приведенная вязкость жидкости Шведова - Бингама и 
- параметр Сен-Венана для кольцевого канала: 
- то же, что в (3.32).
Надо подчеркнуть, что приближенное решение (3.38) практически не отличается от точного при выполнении условия 
<0,5 или 
Расчеты показывают, что параметр 
, является практически постоянной величиной, диапазон его изменения составляет от 0,87 до 0,88 при 0,1< α <0,9.
Сравнивая формулы (3.15) и (3.38), можно сделать полезный вывод: при течении жидкости Шведова — Бингама имеет место гидравлическая эквивалентность кольцевого цилиндрического канала и плоской щели, если 
; α >0,3; 2h = R(1- α ); b = πR(1+ α )и 
где 
- соответственно предельные напряжения сдвига для жидкостей в щелевом и кольцевом каналах. Легко заметить, что последнее требование опускается, если принять =3/4, т.е. 
. Аналогично первой задаче и здесь отношение параметров Рейнольдса Rе к* и Rещ равно 2.
В предельном случае, когда 
— приведенный радиус жесткого ядра, из решений (3.35) и (3.38) следуют основные расчетные формулы для течения неньютоновской жидкости Шведова — Бингама в круглой трубе радиуса R:
(3.39)
(3.40)
, 
— обобщенный параметр Рейнольдса, 
— приведенная вязкость жидкости Шведова - Бингама и 
— параметр Сен-Венана для трубы. Эти формулы известны как упрощенные формулы Букингама.
3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последнем уравнении состояния (2.24) соотношения (3.2) и значение интенсивности скорости деформации сдвига [см. формулу (2.27)].
получим
(3.41)
где использованы те же обозначения, что и в предыдущих задачах.
Из сопоставления (3.41) и (3.4) приходим к дифференциальному уравнению
где 
— некоторая характерная величина скорости.
Интегрируя последнее уравнение при граничных условиях v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости
(3.42)
Из условия сопряжения скорости при 
(3.43)
определяется параметр ω.
В общем случае ( 
) интегралы в формуле (3.42) и в уравнении (3.43) нельзя представить элементарными функциями, и поэтому вычисления следует выполнять с помощью численного интегрирования на ЭВМ. То же относится и к вычислению средней скорости потока
(3.44)
Численное решение уравнения (3.43) показывает, что параметр ω (безразмерная координата максимальной скорости) практически не зависит от реологической константы модели п и весьма точно может быть вычислен по формуле (3.31). Это иллюстрирует рис. 24, где показаны профили скорости для нескольких значений п, построенные по формулам (3.42) и (3.43) при α = 0,6.
Рис. 24. Профили скорости при α = 0,6 для степенной модели Освальда — Вейля:
1, 2, 3 - соответственно при n = 0,9; 0,7; 0,5.
С достаточной точностью рассчитать среднюю скорость можно по формуле
(3.45)
При этом коэффициент гидравлического сопротивления
где 
- обобщенный параметр Рейнольдса, 
— приведенная вязкость жидкости Освальда — Вейля для кольцевого канала. В предельном случае, когда 
, уравнение (3.43) не имеет смысла, а из зависимости (3.42) следует элементарная формула для распределения скорости в сечении круглой трубы
где
Поэтому основные интегральные характеристики потока жидкости в трубе принимают вид
где 
— обобщенный параметр Рейнольдса и 
— приведенная вязкость жидкости для трубы.
4. При турбулентном режиме течения, учитывая соотношения (3.1) и характер распределения профиля скорости [см., например, соотношение (3.41)], найдем по уравнениям Прандтля (2.20) связь напряжения Рейнольдса 
с усредненной по времени скоростью 
:
(3.46)
Если исходить из тех же упрощающих предположений Прандтля, что и в области основного турбулентного ядра напряжения , принять равными касательным напряжениям на стенках канала соответственно слева и справа от цилиндрической поверхности r = ωR, то, используя формулу (21) при r = αR и r = R, получим
(3.47)
где 
Из сравнения соотношений (3.46) и (3.47) получим уравнение относительно скорости
где 
- характерная скорость. Интегрируя данное уравнение с учетом условия 
при 
и 
, получим закон распределения скорости в кольцевом канале
(3.48)
где 
— максимальная скорость потока:
(3.49)
содержит экспериментальные параметры 
— размеры пристенных слоев у внутренней и внешней стенок канала.
Из равенства (3.49) следует уравнение относительно параметра ω
(3.50)
Для упрощения решения этого трансцендентного уравнения примем, что отношения размеров зон турбулентного ядра и пристенных слоев слева и справа от поверхности 
равны между собой, т. е.
(3.51)
Тогда из уравнения (3.50) получим
(3.52)
Путем интегрирования профиля скорости (3.48), пренебрегая пристенными слоями и используя равенство (3.52), легко найти среднюю скорость турбулентного потока
(3.53)
Согласно формуле (3.5) коэффициент сопротивления
Отсюда, учитывая формулы (3.49), (3.52) и (3.53), получим
Принимая по аналогии с задачей для гладких стенок: 
= 0,4; 
закон сопротивления для кольцевого канала запишем в виде
(3.54)
где 
- вязкость или приведенная вязкость жидкости.
Рис. 25. Зависимость коэффициента сопротивления от параметра Рейнольдса (закон сопротивления) при турбулентном режиме течения:
1, 2 – соответственно при α = 0,9 и α = 0.
Если α = 0, то а=1 и соотношение (3.54) выражает известный универсальный закон сопротивления Прандтля для гладких труб, который неоднократно был проверен опытами.
При α > 0,3 величина а изменяется в пределах от 0,54 до 0,45. Следовательно, для малых кольцевых зазоров ( 
) закон сопротивления (3.54) принимает вид закона сопротивления для щели (3.28), где 2h = R( 1 - α).
Из рис. 25 следует вывод, что закон сопротивления при турбулентном режиме течения слабо зависит от α, т. е. от формы канала (круглая труба, кольцевое пространство или щель). В диапазоне чисел Рейнольдса 
кривые на рис. 25 можно аппроксимировать функцией 
, которую принято называть формулой Блазиуса.
Таблица 2.
| S0/R | а | ||||
| 0,3 | 0,5 | 0.7 | 0,9 | ||
| 0,001 | 0,016 | 0,018 | 0,02 | 0,023 | 0,032 |
| 0,005 | 0,025 | 0,027 | 0,031 | 0,037 | 0,056 |
| 0,01 | 0,03 | 0,034 | 0,038 | 0,047 | 0,077 |
| 0,025 | 0,041 | 0,046 | 0,054 | 0,069 | — |
| 0,05 | 0,053 | 0,062 | 0,073 | — |
Отсюда непосредственно находят коэффициент сопротивления по высоте элемента шероховатости s0 стенки канала. Некоторые значения λ, вычисленные по этой формуле, приведены в табл. 2.
Полученные выше решения дают основание сделать следующий практический вывод: при гидравлических расчетах или обработке опытных данных кольцевой канал скважины можно рассматривать как щель с параметрами 2h = R( 1 - α) и b =π R( 1 + α). При этом точность расчета будет зависеть в основном от точности значений реологических параметров жидкости и геометрических параметров кольцевого зазора.
Для расчета гидравлических потерь при турбулентном режиме течения жидкости в затрубном пространстве открытой части ствола скважины необходимо воспользоваться формулой Дарси — Вейсбаха, в которой среднестатистическое значение коэффициента λ должно быть установлено по опытным данным в п типовых скважинах.
Лекция 8. Напряженное и деформированное состояние системы «скважина-пласт»
§ 1 МГНОВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
В практике инженерных расчетов чаще других используется следующая эмпирическая зависимость предельного значения 
( 
или 
) от среднего нормального напряжения 
, предложенная Э. Хоеком:
, (5.6)
где с – значение 
при 
; a, b – константы, являющиеся функциями температуры, влажности и др.
Для многих горных пород хорошей аппроксимацией может оказаться линейная зависимость, называемая критерием Мора,
(5.7)
Инженерные расчеты удобно проводить, когда зависимость параметров с, а, b, равно как и K и т в формуле (5.3), от температуры и влажности принята в аналитической форме. Однако таких общепринятых норм в литературе не предложено. Поэтому необходимо руководствоваться соображениями удобства при расчетах с требуемой точностью. Например, в формуле (5.3) часто бывает удобным фиксировать показатель т, а коэффициент K считать линейной функцией, или экспонентой.
2. При сложно-напряженном состоянии упругое деформирование изотропных тел описывается общими уравнениями состояния, называемыми обобщенным законом Гука:
(5.8)
т.е. компоненты девиаторов напряжений и деформаций, среднее нормальное напряжение и относительное изменение объема пропорциональны или в эквивалентной форме:
(5.9)
т.е. компоненты тензора напряжений суть линейные функции компонент тензора деформаций и обратно:
(4.10)
где 
- модуль сдвига; 
- коэффициент Ламе. Характерно, что коэффициенты пропорциональности в этих общих уравнения определяют параметрами, получаемым при простых видах нагружения.
На основании уравнений (5.8) и формул (1.21), (1.40) выведено полезное соотношение
, (5.8/)
т.е. интенсивность касательных напряжений Т пропорциональна интенсивности деформаций сдвига Г.
Более сложными уравнениями описывается неупругая деформация. В приложениях обычно пользуются упрощенными теориями пластичности.
Наиболее широкое применение получили уравнения состояния деформационной теории пластичности
(5.11)
или в эквивалентной форме
, (5.12)
и обратная зависимость
, (5.13)
которые являются простым обобщением уравнений (5.8) – (5.10).
В уравнениях (5.11) – (5.13) функция g(Г) в силу соотношения 
и формулы (5.2) определяется по виду функции 
, например, подобно формуле (5.3):
.
Функция 
служит коэффициентом в обратном соотношении 
: например, для степенного закона (5.3)
,
где 
.
В случае несжимаемого тела (v = 0,5) уравнения состояния принимают вид
.
В состояния пластического течения (см. рис.42 участок АВ), например, при обобщенном критерии Губера – Мизеса, характеризующим переход к пластическим деформациям,
,
3. Условие перехода какого-либо элемента нагруженного твердого тела в состояние хрупкого разрушения или пластического течения, когда в известной мере исчерпывается несущая способность, принято называть критерием прочности при кратковременном монотонном нагружении.
Поэтому в общем случае критерий прочности определяется некоторой предельной поверхностью 
Предложено много различных критериев прочности при сложно-напряженном состоянии изотропных тел [17]. В инженерных расчетах чаще других применяют критерий Шлейхера – Надаи
, (4.15)
где вид функции в правой части устанавливается экспериментально по данным опытов для конкретных материалов.
В частности, при 
из (4.15) следует критерий Губера – Мизеса (4.14) или эквивалентный ему по форме энергетический критерий. Оба этих критерия основаны на гипотезе, по которой процесс разрушения зависит главным образом от изменения формы элемента тела.
При достижении потенциальной энергией формоизменения элемента тела предельного состояния наступает его разрушение или переход к пластической деформации.
Если 
, то из условия (4.15) следует обобщенный критерии Мора 
. Используя формулы разд. .2, критерий (4.15) можно сформулировать в терминах максимального касательного 
и нормального 
напряжений:
.
Например, относительно главных координатных осей при условии 
, обобщая соотношение (4.6), можно принять
.
4. При изучении анизотропии горных пород чаще всего ограничиваются изучением свойств горных пород в плоскости, параллельной напластованию, и плоскости, перпендикулярной к напластованию, считаю любое из направлений в этих плоскостях эквивалентным в отношении механических свойств. Такие тела принято называть трансверсально-изотропными.
(4.16)
где 
- модули сдвига в плоскости 
и в перпендикулярных к ней плоскостях.
Для большинства горных пород модули сдвига рекомендуется вычислять по формулам
,
где 
- основной параметр анизотропии.
Известно, что прочность горных пород на сжатие существенно отличается от прочности на растяжение или сдвиг.
Сравнительно простым критерием прочности может служить, например, следующий [25]:
,
который представляет собой обобщение критерия Мора (4.6) относительно главных направлений.
Для хрупкого тела, подчиняющегося этому условию, должно выполняться следующее соотношение между пределами прочности на растяжение 
и сжатие 
в плоскости напластования и направлении 
, перпендикулярном к ней:
.
Постоянные А, В и С связаны с пределами прочности формулами вида
Предложены и более сложные критерии разрушения анизотропных тел [25], содержащие большое число констант, подлежащих определению на основании опытных данных. Однако использование их вряд ли возможно из-за больших трудностей в проведении опытов.
Из (4.17) как частный случай следует критерий прочности для изотропных тел 
:
, (4.17’)
где 
.
Этот критерий является одним из весьма полезных разновидностей общего критерия (4.15) для оценки прочности горных пород и цементного камня.
Опытами доказано, что деформация объема и величина предельного напряжения горной породы зависят исключительно от эффективных напряжений
,
где 
- коэффициент порового давления, характеризующий различную сопротивляемость скелета породы растяжению и сжатию; 
- модули объемной деформации расширения и сжатия соответственно. В это же время установлено, что изменение формы элемента тела не зависит от порового давления.
Следовательно, для учета поровых (пластовых) давлений необходимо во всех приведенных выше уравнениях состояния и критериях прочности нормальные напряжения 
и среднее давление 
заменить эффективными напряжениями 
и 
, оставив без изменения касательные напряжения 
.
Например, закон Гука (4.10) и критерий прочности (4.15) перепишутся в виде
; (4.10’’)
. (4.15’’)
В таком случае все исходные уравнения, включая и уравнения движения (1.45), будут содержать суммарные (тотальные) напряжения 
.
Для глин и глинистых пород, склонных к набуханию, компоненты деформации 
в уравнениях состояния (4.10’) необходимо дополнить слагаемыми 
, где 
- коэффициент объемного расширения при увлажнении породы; 
- начальная и текущая влажность породы.
Аналогично учитывается расширение (сжатие) любого твердого тела при нагревании (охлаждении) введением в уравнения состояния слагаемых 
, где 
- коэффициент объемного расширения при нагревании; 
ºС, 
ºС – начальная и текущая температура тела.
Дата добавления: 2015-12-11; просмотров: 935;