Невільний рух точки

Коли на зміну механічного стану тіла не накладено жодних обмежень, то рух тіла вільний. Тіло називають невільним, коли на його переміщення накладені обмеження і воно не може рухатися довільно, а рухається по заданій траєкторії або поверхні. Обмеження, які не дозволяють тілу вільно рухатись, називаються в’язями. Якщо тіло намагається переміщуватися в напрямі в’язі, і тим самим діє на неї, то з боку в’язі виникає протидія, яку називають реакцією в’язі.

Тіло будемо вважати матеріальною точкою. Коли точка за рахунок накладених на неї в’язів рухається по заданій траєкторії або поверхні, необхідно рівняння руху вільної точки доповнити силами, які враховують реакції в’язів. В таких випадках будемо розв’язувати задачу користуючись аксіомою про в’язі: всяку невільну точку розглядаємо як вільну, відкинувши в’язі та замінивши їх дію реакціями. Тоді основний закон динаміки для невільної матеріальної точки буде мати вигляд:

, (3.1)

де – діючі на точку активні сили, – реакції в’язів.

Розглянемо рух точки по гладкій кривій , тобто у відсутності сил тертя. Проведемо в точці натуральну систему координат (натуральний тріедр) (рис.3.1). Спрямуємо дотичну в бік руху тіла, головну нормаль в бік вигнутості кривої та перпендикулярну до них бінормаль (рис.3.1). Спроектуємо обидві частини рівняння (3.1) на ці вісі, враховуючи те, що реакції перпендикулярні до гладкоїкривої ( ), по якій рухається тіло. То ді отримуємо:

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Оскільки :

, , , (3.5)

то вектор лежить в дотичній площині.

З врахуванням (3.5) отримуємо систему диференціальних рівнянь для руху точки по заданій кривій :

, (3.6)

(3.7)

0 = . (3.8)

Зауважимо, що в рівняння (3.6) не входять невідомі реакції , що дозволяє визначити закон руху точки по кривій, тобто . Рівняння (3.7) та (3.8) використовують для знаходження реакцій в’язів (їх компонент та ) .

Звернемо увагу на те, що рівняння руху вільної частинки отримуються з системи рівнянь (3.6)-(3.8), якщо покласти = 0. Якщо крива не є гладкою, тоді в рівняння (3.6) потрібно включити силу тертя (горизонтальну складову реакції).