Волновой фронт. Плоские, сферические и цилиндрические волны

Упругие волны в безграничных средах

В данной главе вводится ряд определений и понятий физической акустики, рассматриваются волны в безграничных средах, дается представление о волновом уравнении и его характеристических свойствах.

Волновое уравнение

Многообразие различных волновых процессов в первом приближении описывается волновым уравнением

, (1.1)

где ;

– гамильтониан – инвариантный оператор.

Это линейное гиперболическое уравнение второго порядка. В случае упругих сред, о чем будет сказано ниже, оно описывает малые свободные колебания. Под функцией понимаются различные физические величины: давление, смещение, скорость смещения частиц среды и т. д.

В случае одного пространственного измерения уравнение (1.1) для плоского случая приобретает наиболее простой вид:

. (1.2)

Величина с постоянна и имеет размерность скорости. Далее будет ясно, что соответствует скорости распространения возмущения. Решением уравнения (1.2) является суперпозиция двух функций:

. (1.3)

Отметим далее важное свойство уравнения (1.2), справедливое и для уравнения (1.1). Величины , называются характеристиками уравнения (1.2). Будем полагать, что . Находя полную производную по от , получим, что , откуда . Так как , то возмущение, имеющее в некоторый момент времени заданную форму , не изменит ее и в любой другой момент времени. Таким образом, возмущения распространяются, не изменяясь по характеристикам, с постоянной скоростью. Это важное характеристическое свойство уравнения (1.2). В случае трех пространственных переменных говорят уже о характеристических поверхностях.

В следующем параграфе мы еще вернемся к волновому уравнению (1.2) и его решению (1.3). Здесь же отметим одно обстоятельство, касающееся терминологии. Функцию вида в определенном контексте называют фазой. Применительно к уравнению (1.2) и решению (1.3) фаза совпадает с характеристикой. В общем случае, это может быть не так, поэтому в следующем параграфе и особенно в параграфе, посвященном явлению дисперсии, понятие фазы не следует отождествлять с характеристиками уравнения (1.2).

Колебания и волны

Колебания – процессы, при которых состояние системы воспроизводится через определенный промежуток времени. В акустике рассматриваются упругие колебания. Акустические колебания – механические колебания частиц упругой среды. Под упругой средой понимается среда, в которой напряжение есть линейная функция деформации. Колебания можно разделить на две большие группы: свободные и вынужденные. Свободные колебания система совершает, будучи предоставлена самой себе. Реально из-за наличия трения, диссипативных процессов и пр. свободные колебания являются затухающими. Вынужденные колебания система совершает под действием возмущающей силы. Если собственные частоты колебательной системы совпадают с частотой вынуждающих воздействий, то система входит в резонанс.

Упругие колебания в жидкостях и газах характеризуются одной из следующих величин: изменением давления p или плотности r, смещением частиц из положения равновесия u, скоростью колебательного движения v, потенциалом смещения χ или колебательной скорости φ. Следует отличать изменение давления или плотности, связанное с распространением акустических волн, от их статистического (среднего) значения. Все перечисленные величины взаимосвязаны, например: u = grad c; v = grad j; v где ρ – плотность среды; t – время.

Колебания, возникнув в одной точке среды, за счет упругого взаимодействия частиц распространяются с некоторой скоростью c. Волной называют процесс распространения упругого возмущения среды. С математической точки зрения волной имеет смысл называть решение волновых уравнений – главным образом линейных и квазилинейных гиперболических (они имеют одну характерную особенность).

При всем многообразии волновых явлений, линейные волны в одномерном случае могут быть представлены функциями вида

. (1.4)

Величина имеет смысл фазы. Отметим здесь, что фаза определена с точностью до аддитивной постоянной. В этой связи уместно сказать, что функция

(1.5)

также является решением волнового уравнения (1.2) при определенных соотношениях между и . Для синусоидальных функций фазой будет функция

. (1.6)

Здесь, как и в формулах (1.4), (1.5) знаки «минус» и «плюс» обозначают направление распространения волны: вдоль оси x и в обратном направлении, соответственно.

Волновой фронт. Плоские, сферические и цилиндрические волны

Волновой фронт есть граница между возмущенной и невозмущенной областями упругой среды. Эта граница представляет собой волновую поверхность с нулевой фазой колебаний. Волновой поверхностью называется условная поверхность равной фазы, т. е. это геометрическое место точек, в которых фаза колебаний постоянна. В зависимости от формы волнового фронта выделяют три основных вида волн: плоские, сферические и цилиндрические.

Для плоских волн волновой фронт имеет вид плоскости. Источником таких волн являются плоскопараллельные пластины, испытывающие периодические деформации «растяжения-сжатия» по толщине. В одномерном случае аналитически плоская волна имеет вид (1.4), который легко обобщается на трехмерный случай:

(1.7)

Волновые поверхности сферических волн имеют вид концентрических сфер. Источником сферических волн является точечный объект или сфера малого диаметра. Аналитически сферическая волна – это функции вида

(1.8)

Цилиндрические волны имеют цилиндрический волновой фронт. Их источником является колеблющийся протяженный цилиндр малого диаметра. Уравнения цилиндрических волн – это функции вида

(1.9)

Различия между рассмотренными типами волн не сводятся только к геометрическому различию в форме волновых поверхностей, но имеют и ряд других особенностей. Если пренебречь затуханием, то амплитуда плоской волны не меняется при распространении волны, в то время как амплитуда сферической волны уменьшается с увеличением расстояния от источника как , а цилиндрической – как .

Не рассматривая подробно понятие интенсивности звуковых волн, укажем, что для плоских волн интенсивность – величина постоянная, для сферических волн интенсивность обратно пропорциональна квадрату расстояния, а для цилиндрических волн интенсивность обратно пропорциональна расстоянию. В табл.1 приведены характеристики перечисленных типов волн в зависимости от формы волнового фронта.

Таблица 1

Основные типы волн

Волновая поверхность	Аналитическое выражение	Интенсивность
Плоская
Цилиндрическая
Сферическая