Волновой вектор плоской монохроматической волны

Плоская монохроматическая волна (ПМВ) для одномерного случая, т.е. при ее распространении вдоль направления оси х, может быть представлена в виде

(1.6)

где – фазовая скорость ПМВ, определяемая из условия = const; – начальная фаза волны при значении времени ; – амплитуда бегущей волны.

Термин «плоская» означает, что фронт распространения волны может быть отображен в виде плоскости, а «монохроматическая» – что волна сохраняет при своем движении неизменную частоту ( = const) в пространстве и во времени.

Если направление распространения ПМВ составляет с осями декартовых координат соответственно углы и , то выражение (1.6) преобразуется к виду

(1.7)

Введем в рассмотрение понятие о волновом векторе , модуль которого равен , а его проекции на координатные оси соответственно равны:

; ; .

(1.8)

Используя понятие скалярного произведения волнового вектора и радиуса вектора (проекции которого равны: x, y и z), выражение (1.7) приобретает более лаконичный вид:

(1.9)

Как правило, для облегчения последующих математических операций ПМВ часто представляют в комплексном виде, используя для этого формулу Эйлера:

(1.10)

В этом случае (на основании формального использования формулы Эйлера) выражение для ПМВ можно представить в комплексной форме:

(1.11)

где фрагмент (Re) свидетельствует о том, что в выражении (1.11) следует учитывать только действительную часть.

На практике, как правило, фрагмент (Re) не принято обозначать, но по умолчанию его присутствие подразумевается:

(1.12)

Введя в рассмотрение комплексную амплитуду ПМВ ( ), выражение (1.12) приобретает более лаконичный вид:

.

(1.13)

Используя представление о волновом векторе ПМВ, выражение (1.3) преобразуется к виду

			(1.14)
где – волновой вектор ПМВ; – единичный вектор в направлении распространения фронта ПМВ.

Для случая свободной частицы (т.е. при отсутствии потенциальных полей) полная энергия частицы всецело определяется ее кинетической составляющей :

(1.15)

где – модуль волнового вектора ПМВ свободной частицы; – масса частицы; – скорость движения частицы.

Поскольку в выражении (1.15) на модуль волнового вектора не накладывается никаких ограничений, то полная энергия свободной частицы может принимать непрерывный ряд значений в диапазоне величин . Именно из этого обстоятельства следует тот факт, что энергия свободной частицы не квантуется.

Для последующего рассмотрения важно отметить, что ПМВ имеет бесконечную протяженность в пространстве, что, собственно, и следует из фактора ее монохроматичности. Последнее обстоятельство приводит к парадоксальной ситуации, когда речь идет о вероятностных волнах
де Бройля. Согласно разделу (1.1.1.), квадрат модуля амплитуды волны де Бройля в определенной точке пространства является мерой вероятности того, что частица может быть обнаружена в этой точке. В то же время фактор бесконечной протяженности ПМВ в пространстве свидетельствует о том, что квадрат модуля амплитуды волны должен быть тождественно равен нулю. (Правомерность этого утверждения следует из необходимости обеспечения условия нормировки для вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства, согласно которому суммарная вероятность нахождения микрочастицы в безграничном пространстве (неважно где) должна быть равна единице.) Следует отметить, что равенство нулю указанных вероятностей для свободной частицы является тривиальным фактом даже с точки зрения здравого смысла, и для установления этого обстоятельства едва ли было бы целесообразным вводить в рассмотрение волны де Бройля. В то же время волны де Бройля могут оказаться небесполезными, если на их основе удастся «сконструировать» вероятностные представления для случая микрочастиц, движение которых происходит в локализованной области пространства (в потенциальном ящике). Эта задача решается ниже в концепции представлений о волновом пакете, образованном из совокупности волн де Бройля.