Плотность распределения отказов (ПРО)

Статистическая оценка ПРО определяется

отношением числа объектов n(t, t + t), отказавших в интервале наработки [t, t + t] к произведению общего числа объектов N на длительность интервала наработки t.

(9)

Поскольку n ( t, t + t ) = n ( t + t ) - n(t), где n( t + t ) – число объектов, отказавших к моменту наработки t + t, то оценку ПРО можно представить:

(10)

где ( t, t + t) – оценка ВО в интервале наработки, т. е. приращение ВО за t.

Оценка ПРО представляет «частоту» отказов, т. е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов.

Вероятностное определение ПРО следует из (10) при стремлении интервала наработки t t0 и увеличения объема выборки N

(11)

ПРО по существу является плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины T наработки объекта до отказа.

Поскольку Q(t) является неубывающей функцией своего аргумента, то f(t) 0.

Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 2.

Как видно из рис. 2, ПРО f(t) характеризует частоту отказов (или приведенную ВО), с которой распределяются конкретные значения наработок всех N объектов (t₁ , … , t_N ), составляющие случайную величину наработки T до отказа объекта данного типа. Допустим, в результате испытаний установлено, что значение наработки ti присуще наибольшему числу объектов. О чем свидетельствует максимальная величина f(t_i). Напротив, большая наработка t_j была зафиксирована только у нескольких объектов, поэтому и частота f(t_j) появления такой наработки на общем фоне будет малой.

Рис. 2

Отложим на оси абсцисс некоторую наработку t и бесконечно малый интервал наработки шириной dt, примыкающий к t.

Тогда вероятность попадания случайной величины наработки T на элементарный участок шириной dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна:

(12)

где f(t)dt – элемент ВО объекта в интервале [t, t + dt] (геометрически это площадь заштрихованного прямоугольника, опирающегося на отрезок dt).

Аналогично вероятность попадания наработки T в интервал [t_k , t_m ] равна:

(13)

что геометрически интерпретируется площадью под кривой f(t), опирающейся на участок [t_k , t_m ].

ВО и ВБР можно выразить в функции ПРО.

Поскольку Q(t) = P{T < t}, то используя выражение (13), получим

(14)

расширение интервала слева до нуля вызвано тем, что T не может быть отрицательной.

Т. к. P(t) = P{T t}, то

(15)

Очевидно, что Q(t) представляет собой площадь под кривой f(t) слева от t, а P(t) – площадь под f(t) справа от t. Поскольку все, полученные при испытаниях значения наработок лежат под кривой f(t), то

(16)