Вероятность безотказной работы (ВБР)

Статистическая оценка ВБР (эмпирическая функция надежности) определяется:

(1)

отношением числа N(t) объектов, безотказно проработавших до момента наработки t, к числу объектов, исправных к началу испытаний (t = 0) - к общему числу объектов N. Оценку ВБР можно рассматривать как показатель доли работоспособных объектов к моменту наработки t.

Поскольку N(t) = N - n(t), то ВБР по (1)

(2)

где (t) = n(t)/ N – оценка вероятности отказа (ВО).

В статистическом определении оценка ВО представляет эмпирическую функцию распределения отказов.

Так как события, заключающиеся в наступлении или не наступлении отказа к моменту наработки t, являются противоположными, то

(t)+ (t) = 1

(3)

Нетрудно убедиться, что ВБР является убывающей, а ВО – возрастающей функцией наработки. Действительно

- в момент начала испытаний t = 0 число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N, а число отказавших - n(t) = n(0) = 0, поэтому (t) = (0) = 1, а (t) = (0) = 0;

- при наработке t все объекты, поставленные на испытания, откажут, т. е. N( ) = 0, а n( ) = N, поэтому (t) = ( ) = 0, а (t) = ( ) = 1.

Вероятностное определение ВБР

P(t) = P{T t}.

(4)

Таким образом, ВБР есть вероятность того, что случайная величина наработки до отказа T окажется не меньше некоторой заданной наработки t.

Очевидно, что ВО будет являться функцией распределения случайной величины T и представляет из себя вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:

Графики ВБР и ВО приведены на рис. 1.

В пределе, с ростом числа N (увеличение выборки) испытываемых объектов, (t) и (t) сходятся по вероятности (приближаются по значениям) к P(t) и Q(t).

Сходимость по вероятности представляется следующим образом:

(6)

Рис. 1

Практический интерес представляет определение ВБР в интервале наработки [t, t + t], при условии, что объект безотказно проработал до начала t интервала.Определим эту вероятность, используя теорему умножения вероятностей, и выделив следующие события:

A = {безотказная работа объекта до момента t};

B = {безотказная работа объекта в интервале t};

C = A·B = {безотказная работа объекта до момента t + t}.

Очевидно P(C) = P(A·B) = P(A)·P(B| A), поскольку события A и B будут зависимыми.

Условная вероятность P(B| A) представляет ВБР P(t, t + t) в интервале [t, t + t], поэтому

P(B| A) = P(t, t + t) = P(C)/ P(A) = P(t + t)/ P(t).

(7)

ВО в интервале наработки [t, t + t], с учетом (7), равна:

Q( t, t + t ) = 1 - P( t, t + t ) = [ P(t ) - P(t + t ) ] / P(t ).

(8)