Методики построения имитационных моделей.Агрегативный подход

Существующие математические схемы описания сложных систем обладают одним существенным недостатком. Он состоит в том, что единым образом можно описать лишь те системы, элементы которых описываются одной и той же математической схемой.

Наиболее существенным с теоретической и практической точки зрения является случай, когда элементы системы описываются разнородными математическими схемами. Из-за отсутствия единого формального описания элементов трудно рассчитывать на создание общих методов исследования систем в целом, а также единого подхода к классификации сложных систем, изучению общих свойств важнейших классов систем их анализу и синтезу. Даже такой, казалось бы, универсальный метод, как статистическое моделирование, для достаточно сложных систем с разнородными параметрами описания элементов оказывается весьма громоздким.

Таким образом, введение унифицированной абстрактной схемы, позволяющей единообразно описывать все элементы системы, имеет существенное значение.

Унифицированной абстрактной схеме придается достаточно общий вид, с тем, чтобы она охватывала разнообразные темы реальных систем. Для этого унифицированная схема должна иметь динамический характер, быть способной описывать обмен сигналами с внешней средой и учи­ты­вать действия случайных факторов. Была предложена унифицированная схема, названная агрегатом. Она образована из стохастической системы общего вида конкретизацией операторов переходов и выходов.

Агрегат оказывается удобной схемой для описания широкого класса реальных объектов. Кроме того, представление реальных систем в виде агрегатов позволяет изучить некоторые их общие свойства, связанные со структурой и функционированием. Реализация на ЭВМ алгоритмических (по сути, имитационных) моделей агрегата дает возможность решать многие задачи количественного и качественного анализа сложных систем.

Понятие агрегата.

Пусть T - фиксированное подмножество рассматриваемых моментов времени; X, Г, Y, Z - множества любой природы. Элементы указанных множеств будем называть так:

tÎT - моментом времени,

xÎX - входным сигналом,

gÎГ - управляющим сигналом,

yÎY - выходным сигналом,

zÎZ - состоянием.

Состояния, входные, выходные и управляющие сигналы рассматриваются как функции времени; их значения в момент t будут обозначаться z(t), x(t), y(t) соответственно.

Под агрегатом понимается объект, определяемый множествами T,X,Г,Y,Z и операторами H и G. Операторы H и G называют операторами переходов и выходов. Они являются, вообще говоря, случайными и предназначены для реализации функций z(t) и y(t). Структура операторов переходов и выходов выделяет агрегаты среди прочих систем.

Дополнительно вводится пространство параметров В. Пусть элемент этого пространства В имеет вид β=(β₁, …, β_n)ÎB. Значение β фиксировано в рамках каждой конкретной задачи. Это конструктивный параметр. В этой связи управляющий сигнал y(t) является параметром управления.

Рассмотрим сначала реализацию оператора выходов G. Представим его в виде двух операторов G' и G". Оператор G' вырабатывает очередные моменты выдачи непустых выходных сигналов, а оператор G" - содержание сигналов. Операторы эти строятся следующим образом.

В пространстве состояний агрегата Z для каждого βÎB и gÎГ определим некоторое множество Z^Y(g₀,b)ÌZ, вид которого зависит от (g, β). То есть множество Z^Y(g₀,b) в общем случае изменяется при изменении параметров агрегата, когда осуществляется переход к условиям другой задачи. В рамках данной задачи - в моменты поступления новых управляющих сигналов g(t). В интервалах времени между моментами поступления управляющих сигналов множество Z^Y(g₀,b) не изменяется и остается таким, каким оно оказалось в момент поступления последнего управляющего сигнала.

Множество Z^Y(g₀,b) определяет моменты выдачи выходных сигналов.

Оператор G" определяет содержание сигналов y=G"{t, z(t), g(t), β}.

В общем случае оператор G" является случайным оператором. Это значит, что данным t, z(t), g(t) и β ставится в соответствие не один определенный y, а некоторое множество значений управляющего параметра y с соответствующим распределением вероятностей, задаваемых оператором G".

Обратимся теперь к оператору переходов H.

Наряду с состоянием агрегата z(t) рассматриваются также состояние z(t+0), в которое агрегат переходит за “малый” интервал времени. Вид оператора H зависит от того, поступают или не поступают в течение рассматриваемого интервала времени входные и управляющие сигналы. Поэтому его представляют в виде совокупности случайных операторов.

Пусть t'_n - момент поступления в агрегат входного сигнала x'_n, тогда

z(t'_n+0)=V'{t'_n, z(t'_n), g(t'_n), x'_n, b}, (25.1)

где под g(t'_n) понимается последний управляющий сигнал, поступивший в момент времени t< t'_n.

Если t"_n - момент поступления в агрегат управляющего сигнала g''_n, то

z(t"_n+0)=V"{t"_n, z(t"_n), g''_n, b}, (25.2)

Далее, если t'_n - момент одновременного поступления в агрегат и входного x_n, и управляющего g_n сигналов, то

z(t_n+0)=V'{t_n, V"(t_n, z(t_n), g_n, x'_n, b), g_n, x_n, b}. (25.3)

В этом выражении под V"{·} понимается не оператор, а результат его действия на аргументы t_n, z(t_n), g_n, b, являющийся элементом множества Z. Другими словами, вместо (25.3) можно записать

z(t_n+0)=V'{t_n, z'(t_n+0), g_n, x_n, b},

где z'(t_n+0) определяется соотношением (25.2) для t_n, z(t_n), g_n, b.

Наконец, если полуинтервал (t_n,t_n+1] не содержит моментов поступления сигналов, за исключением t_n+1, а t_n - момент поступления входного или управляющего сигнала, то для tÎ(t_n, t_n+1]

z(t)=U{t, t_n, z(t_n+0), g(t_n), b}.

Здесь, подобно (25.1), под g(t_n) понимается последний управляющий сигнал, поступивший в момент t£t_n.

Перейдем теперь к описанию типичного процесса функционирования агрегата в терминах рассматриваемой выше реализации операторов H и G.

Пусть в некоторый начальный момент времени t₀ агрегат находится в состоянии z₀ и пусть в моменты t'₁ и t'₂ поступают входные сигналы x'₁и x'₂, а в момент t"₁ - управляющий сигнал g"₁ и для определенности t'₁ < t"₁ < t'₂.

Рассмотрим сначала полуинтервал (t₀, t'_n]. Состояния агрегата z(t) изменяется с течением времени по закону

z(t) = U{t, t₀, z(t₀), g(t₀), b}. (25.4)

Предположим, что в момент t^*₁ такой, что t₀ < t^*₁ < t'₁, состояние z(t^*₁) достигает множества Z^Y(g₀,b). Тогда в момент t^*₁ выдается выходной сигнал

y⁽¹⁾=G"{t^*₁, z(t^*₁), g₀, b}.

Если состояние z(t) опять достигает множества Z^Y(g₀,b) в момент t^*₂ такой, что t^*₁ < t^*₂ < t'₁, то в момент t^*₂ выдается выходной сигнал

y⁽²⁾=G"{t^*₂, z(t^*₂), g₀, b}. (25.5)

и т.д. Здесь z(t^*₁) и z(t^*₂) определяется из (25.4).

В момент t'₁ в агрегат поступает входной сигнал x'₁. Состояние агрегата

z(t'₁+0) = V'{t'₁, z(t'₁), g₀, x'₁, b}.

Здесь также z(t'₁) определяется из (25.4).

В полуинтервале (t'₁, t"₁] функционирование агрегата можно описать по аналогии с полуинтервалом (t₀, t'₁]. Состояние z(t) определяется как

z(t) = U{t, t'₁, z(t'₁+0), g₀, b}. (25.6)

Если в моменты t^*_k, такие, что t'₁ < t^*_k < t"₁, состояния z(t^*_k) достигают множества Z^Y(g₀,b), в каждый из моментов t^*_k выдается выходной сигнал

y^(k)=G"{t^*_k, z(t^*_k), g₀, b},

где z(t^*_k) определяется из (25.6).

В момент t"₁ в агрегат поступает управляющий сигнал g"₁ и тогда состояния агрегата описывается оператором V'':

z(t"₁+0)=V"{t"₁, z(t"₁), g"₁, b}. (25.7)

Здесь z(t"₁) также определяется из (25.6).

Далее, в полуинтервале (t"₁, t'₂] состояние агрегата изменяется по закону

z(t) = U{t, t"₁, z(t"₁+0), g"₁, b}. (25.8)

Если в моменты t^*_k+r, такие, что t"₁ < t^*_k+r < t'₂, r³1, состояние z(t^*_k+r) достигает множества Z^Y(g''₁,b), в каждый из моментов t^*_k+r выдается выходной сигнал

y^(k+r)=G"{t^*_k+r, z(t^*_k+r), g"₁, b}.