Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение. Функция называется однородной порядка k , если для произвольного числа выполняется условие .

Примеры. Являются ли однородными следующие функции:

Отметим: если функция после замены x через αx и y через αy - не изменилась, то она является однородной порядка k=0.

- функция не является однородной.

Определение. Дифференциальное уравнение (13.8) называется однородным, если функция и являются однородными одинакового порядка.

Пусть функции и одинакового порядка k. Это означает, что и для любого . Рассмотрим выражение

Согласно (13.8) это означает: если дифференцированное уравнение является однородным, то после замены в нем x через и y через ононе изменяется. Этот вывод может служить критерием проверки дифференциального уравнения на однородность.

Можно использовать и дугой критерий. Пусть уравнение (13.8) однородное, и примем . Тогда

, отсюда

Обозначим

Функция является однородной нулевого порядка (k=0), а однородное дифференциальное уравнение (13.8) может быть записано в виде

или (13.9)

Покажем, что введение вспомогательной переменной позволяет свести однородное уравнение (13.8) (или 13.9) к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Очевидно,

Перейдем в уравнении (13.8) к новой переменной z. Полагая запишем уравнение (13.8), как было показано выше, в виде

, так как , получаем

После преобразования имеем

Это уравнение с разделяющимися переменными, которое можно записать в виде

Его общее решение имеет вид

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

Функция - однородная нулевого порядка. Введем вспомогательную переменную ( ). Данное уравнение примет вид , или .

После преобразования получаем уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его. , откуда или . Возвращаясь к исходным переменным, запишем общее решение

или

1 234

Дата добавления: 2015-11-06; просмотров: 827;