Эффективность рекламы.

Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Математическая модель демографического процесса;

Известно, что население любой страны подвержено изменениям во времени. Этому способствуют различные процессы, протекающие в стране и мире (экономические, политические и др.)

Для оптимального планирования экономики необходимо учитывать демографические процессы, происходящие в обществе (в данном регионе или в стране в целом). В таком случае требуется найти закон изменения численности населения с течением времени.

Пусть население в произвольный момент времени t равно y(t). Будем полагать, что промежутку времени соответствует прирост населения .Очевидно, этот прирост пропорционален количеству населения y(t) в момент времени t и промежутку времени ,то есть откуда . Переходя к пределу при , получаем уравнение

, (13.1)

Эффективность рекламы.

Предположим, торговой фирмой реализуется некоторая продукция B, о которой из числа Nпотенциальных покупателей знает yпокупателей. Для ускорения сбыта продукции были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. Для достижения оптимального сбыта товара требуется найти закон изменения числа граждан, владеющих информацией о продукции с течением времени. Естественно предположить, что после рекламных объявлений скорость изменения числа граждан, владеющих информацией о товаре B в момент времени t, пропорциональна как числу y(t) таких граждан, так и числу , которые о нем ничего не знают, то есть получаем уравнение

, (13.2)

которое описывает процесс распространения рекламы среди населения. Уравнение (13.2) также как и уравнение (13.1), содержит, наряду с искомой функцией y(t) и ее производную .

Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

Определение 1. Уравнение, связывающее независимые переменные x_i, искомую функцию yи производные различных порядков этой функции, называется дифференциальным уравнением.

Если искомая функция y зависит только от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным и записывается в виде

, (13.3)

Порядок старшей производной, входящий в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. В частности, уравнение 1-го порядка имеет вид (13.4)

Рассмотрим дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Простейшим дифференциальным уравнением1-го порядка является отыскание первообразной функции f(x). Действительно, если , то

(13.5)

В данном случае дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество (семейство) решений. Задача отыскания решения всякого дифференциального уравнения сводится к отысканию всех его решений. Эта задача называется интегрированием дифференциального уравнения.

Из решения (13.5) обнаруживаем, что оно содержит произвольную постоянную C.

Определение. Функция называется решением дифференциального уравнения, если при подстановке ее в уравнение вместе о своей производной обращает его в тождество, то есть

При каждом фиксированном значении постоянной , получаем некоторое решение , называемое частным решением.

Определение. Совокупность функций , где с - произвольная постоянная, всех частных решений называется общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка.

Всякое частное решение геометрически определяет некоторую кривую, называемую нтегральной кривой. Общее решение , определяет множество (семейство) всех интегральных кривых(рис.13.1).

Если требуется из семейства кривых выделить некоторую определенную кривую, необходимо задать дополнительные условия. Для этого достаточно указать точку плоскости М_о (x₀ , y₀), через которую проходит искомая интегральная кривая. Эти дополнительные условия называют начальными условиями. Обычно, их записывают в виде . Подставив координаты точки М_о в найденное общее решение, получаем . Отсюда , а искомое частное решение имеет вид .Эта функция определяет искомую интегральную кривую.

Пример. Дано дифференциальное уравнение . Покажем, что его решением является функция . Действительно подставляем y и y' в заданное уравнение . Получено тождество.

Замечание. Если решение дифференциального уравнения найдено в неявном виде его называют общим интегралом.

Задача Коши.

Рассмотрим уравнение.

(13.6)

Пусть функция определена в области D плоскости xOy. Очевидно, уравнение (13.6) ставит всякой точке М (x , y) определенное значение производной y' , то есть определяет в точке М (x , y) угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Можно сказать, что уравнение (13.6) определяет совокупность направлений или поле направлений на плоскости xOy (рис.13.3).

Таким образом, решение дифференциального уравнения (13.6), разрешенного относительно производной, сводится к отысканию кривых, направления касательных к которым в каждой точке плоскости совпадают с полем направлений.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения , разрешенного относительно производной, удовлетворяющего начальному условию называется задачей Коши. Существование и единственность решения задачи Коши утверждается следующей теоремой:

Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении функция непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y точке плоскости xOy. Тогда существует, причем единственное, решение этого уравнения, такое, что . Геометрически это означает, что через каждую точку . проходит одна и только одна интегральная кривая (рис.13.4.).