Правильные и неправильные рассуждения

Одной из главных задач логики является анализ рассуждений. Под рассуждением будем понимать вывод из некоторых высказываний, называемых посылками, нового высказывания – заключения.

Рассуждение считается правильным лишь тогда, когда с его помощью из истинных посылок нельзя получить ложное заключение. Законы логики, выражаемые тавтологиями алгебры высказываний, служат основой для выводов, в которых учитывается только вид (структура) сложных высказываний или предикатов с точностью до элементарных высказываний или предикатов. Элементарные высказывания логика высказываний не анализирует, также как и логика предикатов не анализирует элементарные предикаты.

Правила вывода – это предписания, позволяющие признавать правильными высказывания в зависимости от того, какой вид имеют высказывания, уже признанные истинными (посылки).

Посылки от следствия обычно разделяют словом «следовательно».

Правило отделения (заключения или modus ponens)было известно уже в древности в школе стоиков. Оно заключается в следующем. Мы делаем правильное умозаключение, если из двух посылок вида

1. если P, то Q ( ).

2. P

получаем в качестве вывода (заключения), что

3. Q.

Это же короче можно сказать так: наше рассуждение правильно, если из двух посылок, среди которых одна является импликацией, а другая совпадает с условием этой импликации, мы выводим предложение, совпадающее с заключением той же импликации. Сказанное можно записать так и обосновать, установив тождественную истинность предиката .

Мы утверждаем правильность умозаключения, принимая во внимание только вид посылок (их форму), содержание же посылок может быть самым разнообразным.

Правило отделения повсеместно употребляется в математических доказательствах и житейской практике.

Рассмотрим применение правила отделения на примерах из математической и житейской практики.

Пример 1.

1. Если число оканчивается нулем, то делится на 5 ( ).

2. Число оканчивается нулем (P).

3. Следовательно, делится на 5 (Q).

Пример 2.

1. Если завтра будет дождь, то завтра концерт в парке не состоится ( ).

2. Завтра будет дождь (P).

3. Следовательно, завтра концерт в парке не состоится (Q).

В этих примерах содержание разное, а форма рассуждения одна и та же. Если признать истинными посылки , P, то истинным будет и Q.

Обычно посылки пишут над чертой, а заключение под чертой. Правило отделения можно записать так:

(правило отделения).

Укажем еще некоторые правила вывода, применяющиеся в логико-математической практике.

Правило силлогизма: .

Это правило обосновано ранее.

Правило отрицания: .

□ Для обоснования этого правила покажем, что – тождественно истинный предикат. Пусть для некоторого набора значений переменных, входящих в запись предикатов P и Q , имеет место (напомним, что для высказывания через обозначается его логическое значение). Тогда по определению импликации . Пусть . Тогда . Если , то и поэтому . Если , то , и поэтому . Итак, рассуждение по правилу отрицания является правильным.

Рассмотрим применение правила отрицания на примере из математической практики.

Пример 3.

1. Если десятичная запись числа оканчивается цифрой 6, то .

2. Число не делится на 2.

3. Следовательно, не оканчивается цифрой 6.

Приведем теперь пример неправильного рассуждения.

Пример 4. Рассмотрим следующее рассуждение:

1. Если четырехугольник – параллелограмм, то его противоположные стороны попарно параллельны

2. Если четырехугольник – квадрат, то его противоположные стороны попарно параллельны

3. Следовательно, если четырехугольник – квадрат, то он параллелограмм.

Обозначим высказывание «четырехугольник – параллелограмм» буквой P, «четырехугольник – квадрат» буквой Q, «противоположные стороны попарно параллельны» – буквой R. Наше рассуждение построено по схеме

.

В нашем конкретном примере мы пришли к правильному выводу. Покажем, что рассуждение по указанной схеме не является правильным. Пусть для некоторого набора значений переменных, входящих в запись предикатов P, Q и R имеет место . Тогда по определению импликации и . Если , то , и . Таким образом, если , , , то посылки и – истинны, а заключение – ложно. Поэтому наше рассуждение ошибочно. Поэтому указанная схема не является правилом вывода.

Проиллюстрируем это на следующем рассуждении:

1. Если четырехугольник – параллелограмм (P), то он имеет две параллельные стороны (R).

2. Если четырехугольник – трапеция (Q), то он имеет две параллельные стороны (R).

3. Следовательно, если четырехугольник – трапеция (Q), то он параллелограмм (P).

В данном случае, рассуждая по той же схеме, мы пришли к неправильному выводу.

Упражнение 1. Обосновать следующее правило вывода (записать в виде тождественно-истинной формулы закон логики, лежащий в основе этого правила вывода):

правило расширенной контрапозиции: .

Упражнение 2.Провести анализ рассуждения. Если натуральное число делится на 2 и на 3, то делится на 6. Следовательно, если натуральное число делится на 2 и не делится на 6, то оно не делится на 3.

Упражнение 3.В системеN₀неотрицательных целых чиселдать обоснованные ответы на вопрос: следует ли из посылок заключение?

	Посылки	Заключения
а)	1. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5. 2. Число не оканчивается нулем.	Число не делится на 5.
б)	1. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5. 2. Число делится на 5.	Число оканчивается нулем.
в)	1. Если или , то . 2.	и

Упражнение 4.На предприятии есть три отдела , , , договорившиеся о следующем утверждении проектов: а) если отдел не участвует в утверждении проекта, то в этом утверждении не участвует и отдел ; б)если отдел участвует в утверждении проекта, то в нем участвуют отделы и . Выяснить, обязан ли при этих условиях отдел участвовать в утверждении проекта, когда в нем участвует отдел .