Запись на языке логики предикатов различных предложений

Уделим немного внимания применению одного из аспектов логики предикатов – грамотной записи на языке логики предикатов различных математических предложений. Это будет весьма полезным студенту и будущему учителю не только для формирования логической культуры, но и для практического оперирования рассматриваемыми понятиями и методами непосредственно в процессе изучения математических дисциплин в вузе и преподавания математики в школе.

С помощью кванторной символики удобно записывать формулировки различных определений и теорем. В процессе такой записи приходится осмысливать данное предложение, отчетливо выделять в нем посылки и заключение (если это теорема), очерчивать более широкий круг понятий и четко выделять ограничивающее условие (если это определение). Одним словом, перевод расплывчатой словесной формулировки на строгий язык логики предикатов, не допускающий противоречивых толкований, способствует четкости и ясности мышления. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Определение предела последовательности: «Число а называется пределом последовательности , если для всякого положительного действительного числа существует такое натуральное число , что для всякого натурального n, большего , имеет место » на языке логики предикатов записывается так:

.

Используя символику ограниченных кванторов, это определение можно записать компактнее:

.

Нередко требуется доказать, что некоторое число a не является пределом последовательности , т.е. . Для доказательства нужно построить утверждение, являющееся отрицанием сформулированного определения. Поможет в этом логика предикатов. Используя равносильности логики предикатов, преобразуем отрицание исходной формулы к приведенному виду:

(здесь на первом шаге воспользовались законом де Моргана для кванторов и законом исключения импликации, на втором – законом де Моргана для дизъюнкции и законом двойного отрицания, на третьем – правилом отрицания неравенства).

Таким образом, утверждение: «Число не является пределом последовательности » раскрывается так: «Существует такое положительное число , что для всякого натурального числа найдется такое натуральное число , что ». Несходимость последовательности означает, что никакое число не является ее пределом, т.е. . Это вместе с полученным утверждением дает

.

Пример 2. Определение простого числа: «Натуральное число х называется простым, если оно не равно 1 и имеет ровно два натуральных делителя 1 и х» на языке логики предикатов запишется так:

.

Отрицание этого утверждения, т.е. утверждение о том, что «число не является простым», записывается следующим образом:

.

Определение составного числа на языке логики предикатов будет выглядеть так:

.

Предлагается самостоятельно разобраться в составлении последнего утверждения.

Пример 3. Определение: «Точка из области определения функции называется точкой максимума функции , если существует такая δ‑окрестность данной точки, что для всех x из данной окрестности » на языке логики предикатов запишется так:

.

Запишите самостоятельно отрицание данного утверждения.

Вопросы для самоконтроля по теме «Логика предикатов»

1. Что понимается под предикатом, его областью определения и множеством истинности? Определить тождественно истинный (ложный) предикат.

2. Найдите множества истинности предикатов и изобразите их на координатной прямой:

а) ;

б) ;

в) .

3. Что понимается под квантором общности и существования? Определите операции навешивания этих кванторов на одноместный предикат.

4. Определите операции над предикатами.

5. Что понимается под предикатной формулой?

6. Сформулируйте правило отрицания выражений, начинающихся с кванторов.

7. Определите понятие равносильности предикатов. Выясните, равносильны ли предикаты и над множеством Z целых чисел?

8. Пользуясь законом контрапозиции, докажите теоремы:

а) если – нечетное число, то и нечетные числа ( );

б) если , то или ( ).

9. Докажите методом от противного теорему: «Если прямая , лежащая вне плоскости, параллельна прямой , лежащей в плоскости , то прямая параллельна плоскости ». Укажите соответствующую схему.

10. Для теоремы: "Если целое число делится на 15, то делится и на 3, и на 5". Составить формулу, соответствующую ее логической структуре, и найти обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы.

11. Выделить этапы доказательства методом математической индукции. Доказать, что для любого натурального

a) ;

б) делится на 9;

в) .