Основные виды тавтологий, применяемых в логических рассуждениях

1. А &(А ® В) ® В. Правило сокращения посылки «модус поненс»: « если верно А и из А следует В, то верно и В».

2. Ø В & (А ® В) ® Ø А. - Опровержение посылки. «Если В неверно и из А следует В, то неверно и А».

3. ((А₁ Ú А₂ Ú ... Ú А_n) ® В) º (А₁ ® В) & (А₂ ® В)& ... & (А_n ® В). Доказательство путем разбора частных случаев.

4. Схемы доказательств «от противного».

а) А º (Ø А ®( В & Ø В)). «Правильность некоторого утверждения А можно доказать, показав, что из его отрицания следует одновременно справедливость некоторого утверждения В и его отрицания»,

б) (А ® В)º (( А & Ø В) ® Ø А). Противоречие по посылке. Пусть теорема утверждает, что из А следует В. Если допустить, что А верно, а В не верно, то отсюда можно доказать ложность А —посылки теоремы (т.о. одновременно истинны А иØ А ),

в) (А ® В)º (( А & Ø В) ® В). Противоречие по заключению. Если допустить, что А верно, а В не верно, то можно доказать истинность В —заключения теоремы. В итоге получаем одновременную истинность В иØ В.

ЗАДАЧИ

1. Доказать справедливость тавтологии: (х º у)º (х®у) & (у®х).

2. Доказать справедливость стандартных формул логических заключений, приведенных в пп.1-4.

3. Проверить правильность рассуждения: «Если событие А произошло и оно происходит при наличия условий В , то условия В также выполнены».

4. Предприятию требуется один сотрудник без вредных привычек. Первый кандидат сказал о себе следующее: «Я курю, только когда выпью, но курить бросил». Второй кандидат сообщил: «Я тоже курю, только когда выпью, но бросил пить». С помощью формул логических заключений выяснить, кто из кандидатов должен быть принят на работу.