Введение в метод конечных разностей

Функции, которые находят в результате решения ДУЧП Лапласа и Пуассона, имеют непрерывный характер. Поиск решения начинается с представления искомой функции в виде таблицы, которая задает значения функции в некоторых точках области ее определения. Предполагается, что между указанными точками области искомая функция изменяется по известному, например линейному, закону. При построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:

- область определения искомой функции делят на конечное число подобластей, называемых дискретами;

- в центре каждой дискреты фиксируются точки – узлы;

- значение в каждом узле считается неизвестной переменной, подлежащей определению;

- в дискретах определяется среднее значение производных первого и второго порядка.

Продемонстрируем метод конечно-разностной аппроксимации на примере определения двумерной функции в заданной области . Разобьем область на дискреты ортогональной сеткой с шагом и по осям и соответственно. Пусть = = . Пронумеруем дискреты по осям, начиная от начала координат. Обозначим через - значение функции в центре дискреты с номерами и соответственно по осям OX и OY (рисунок 3).Осуществим предельный переход для разностей типа: и при измельчении шага сетки . В пределе это отношение стремится к постоянной величине, определяемой тангенсом угла наклона касательной к кривой сечения поверхности, задаваемой функцией F, в точке , то есть – к производной F в этой точке:

;

Следовательно, обе разности заменяются одной и той же производной. При обратном переходе от производной к разностям производные заменяются так:

® ; ®

Рис.3. Дискретное рабочее поле

В первом случае разность называется левой, а во втором – правой. Аналогичный переход выполним для производных по оси OY:

® ; ®

Рассмотрим следующие отношения:

и

При стремлении h® 0 эти отношения стремятся соответственно к значениям: и в точке и . Следовательно, при обратном переходе от вторых производных к разностям можно заменять производные так:

и

С помощью этих переходов можно производить замену производных в дифференциальных уравнениях, которые превращаются в разностные, а сами разности, заменяющие производные называют конечными разностями.

Метод решения задачи, записанной в виде ДУ, с помощью разностного уравнения называют методом конечных разностей, при котором решение собственно ДУ заменяется решением системы линейных алгебраических уравнений с количеством неизвестных, равных количеству дискрет разбиения области определения функции F.

Рассмотрим уравнение Пуассона вида: + = f(x,y).

Переходя от вторых производных к конечным разностям в точке (mh, nh) области Р, получим разностное уравнение вида:

+ = f(x,y).

Формируя это уравнение для всех точек области Р, получим систему алгебраических уравнений с числом неизвестных равным числу дискрет области:

(4)

При заданных на границе области Р значениях функции f данное уравнение может иметь единственное решение, которое и определит дискретную модель непрерывной величины F в области Р.

«АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ПАССИВНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СХЕМЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ»