Экстремумы функции. Пусть = 0, а ¹ 0. Тогда вблизи точки

Пусть = 0, а ¹ 0. Тогда вблизи точки

Так как ³ 0, то знак разности f (x) – всецело определяется знаком второй производной :

Аналогично рассматривается случай, когда

Здесь вблизи точки x₀

(4.16.3)

Неизменность знака правой части равенства (4.16.3) возможна лишь в том случае, когда m — четное число. Поэтому справедлив следующий вывод: если наименьший порядок m производной, отличной от нуля в точке , является четным, то в точке функция имеет экстремум (при > 0 — минимум, при ) < 0 — максимум). Если m — нечетное число, то экстремума в точке не будет (рис. 4.16.2).

Пусть, например, требуется найти экстремум функции

.

Для решения этой задачи последовательно вычисляем

;

;

Результат можно было предвидеть, если учесть, что .